區間反轉問題
本篇隨筆淺談一下算法競賽中的區間反轉問題。
例題 洛谷 P3391 【模板】文藝平衡樹
題目描述
您需要寫一種數據結構（可參考題目標題），來維護一個有序數列。
其中需要提供以下操作：翻轉一個區間，例如原有序序列是 5\ 4\ 3\ 2\ 15 4 3 2 1，翻轉區間是 [2,4][2,4] 的話，結果是 5\ 2\ 3\ 4\ 15 2 3 4 1。
輸入格式
第一行兩個正整數 n,mn,m，表示序列長度與操作個數。序列中第 ii 項初始為 ii。
接下來 mm 行，每行兩個正整數 l,rl,r，表示翻轉的區間。
輸出格式
輸出一行 nn 個正整數，表示原始序列經過 mm 次變換后的結果。
說明/提示
【數據范圍】
對於 100%100% 的數據，1 \le n, m \leq 1000001≤n,m≤100000，1 \le l \le r \le n1≤l≤r≤n。
關於區間反轉
對於反轉一段區間的操作，我們好像怎么搞都是\(O(N)\)的。
然而對於這道題來講，\(O(N)\)算法肯定是過不去的。
想要用更優秀的復雜度來做，怎么辦呢？
用平衡樹來升級，而且必須用Splay。
復雜度達到了均攤\(O(\log N)\)（證明別找我）。
這就已經很優秀了。
那么為什么平衡樹的Splay算法能夠用均攤\(O(\log N)\)的復雜度來實現區間反轉呢？
現在我們用節點編號來建一棵BST。那么根據BST的性質，對於一個針對區間\([L,R]\)的反轉操作，我們肯定需要把這個區間變到一個可以方便操作的位置。
那么我們考慮把節點\(L-1\)用旋轉splay到根節點，把節點\(R+1\)用旋轉splay到根節點的右兒子，根據BST性質，因為我們是使用節點編號建的BST，那么我們就發現：右兒子的左子樹就是我們需要操作的區間。這個區間已經被唯一確定下來了。
然后因為我們是用節點編號建的BST，所以直接把每個節點的左右兒子交換就可以。