基於貪心算法的幾類區間覆蓋問題

基於貪心算法的幾類區間覆蓋問題：

（1）區間完全覆蓋問題
問題描述：
給定一個長度為m的區間，再給出n條線段的起點和終點（注意這里是閉區間），
求最少使用多少條線段可以將整個區間完全覆蓋
樣例：
區間長度8，可選的覆蓋線段[2,6],[1,4],[3,6],[3,7],[6,8],[2,4],[3,5]
解題過程:
1、將每一個區間按照左端點遞增順序排列，拍完序后為[1,4]，[2,4]，[2,6]，[3,5]，
[3,6]，[3,7]，[6,8]
2、設置一個變量表示已經覆蓋到的區域。再剩下的線段中找出所有左端點小於等於當前
已經覆蓋到的區域的右端點的線段中，右端點最大的線段在加入，直到已經覆蓋全部的區域
3、過程:
假設第一步加入[1,4]，那么下一步能夠選擇的有[2,6]，[3,5]，[3,6]，[3,7]，
由於7最大，所以下一步選擇[3,7]，最后一步只能選擇[6,8]，這個時候剛好
達到了8退出，所選區間為3
4、貪心證明:
需要最少的線段進行覆蓋，那么選取的線段必然要盡量長，而已經覆蓋到的區域之前
的地方已經無所謂了，（可以理解成所有的可以覆蓋的左端點都是已經覆蓋到的地方），
那么真正能夠使得線段更成的是右端點，左端點沒有太大的意義，所以選擇右端點來覆蓋

（2）最大不相交覆蓋(我總感覺這個算法不對，這不應該和會議安排問題一樣嗎？ 直接按照終點排序再依次選擇？？？)
問題描述:
給定一個長度為m的區間，再給出n條線段的起點和終點（開區間和閉區間處理的方法是
不同，這里以開區間為例），問題是從中選取盡量多的線段，使得每個線段都是獨立的，
就是不和其它有任何線段有相交的地方
樣例：
區間長度8，可選的覆蓋線段[2,6],[1,4],[3,6],[3,7],[6,8],[2,4],[3,5]
解題過程:
對線段的右端點進行升序排序，每加入一個線段，然后選擇后面若干個
（也有可能是一個）右端點相同的線段，選擇左端點最大的那一條，如果加入以后不會
跟之前的線段產生公共部分，那么就加入，否則就繼續判斷后面的線段
1、排序:將每一個區間按右端點進行遞增順序排列，拍完序后為[1,4]，[2,4]，[3,5]，[2,6]，
[3,6]，[3,7]，[6,8]
2、第一步選取[2,4]，發現后面只能加入[6,8],所以區間的個數為2
3、貪心證明:因為需要盡量多的獨立的線段，所以每個線段都盡可能的小，
對於同一右端點，左端點越大，線段長度越小。那么為什么要對右端點進行排序呢？
如果左端點進行排序，那么右端點是多少並不知道，那么每一條線段都不能對之前所有
的線段進行一個總結，那么這就明顯不滿足貪心的最有字結構了。

（3）區間選點問題
問題描述：
給定一個長度為m的區間，再給出n條線段和這n條線段需要滿足的要求
（要求是這n條線段上至少有的被選擇的點的個數），問題是整個區間內最少
選擇幾個點，使其滿足每一條線段的要求.
樣例：略
解題過程：
將每個線段按照終點坐標進行遞增排序，相同終點的前點坐標從大到小排列，
一個個將其滿足（每次選擇的點為該條線段的右端點）
貪心證明:
要想使得剩下的線段上選擇的點最少，那么就應該盡量使得已經選擇了的點盡量能
在后面的線段中發揮作用，而我們是從左往右選擇線段的，那么要使得選取的點能
滿足后面線段的要求，那么必須是從線段的右端點開始選點，那么問題(2)一樣涉及
到一個問題，如果是按照線段的左端點對線段進行排序的話，不知道右端點的話，
每一條線段都不能對之前已經操作過的所有線段進行一個總結，那么這就同樣不滿足
貪心算法的最優子結構性質了。
可以解決的實際問題：數軸上面有n個閉區間[a,b],取盡量少的點，使得每個區間內都
至少有一個點（不同區間內含的點可以是同一個）

應用例題：（貌似不是很簡單。。。）
　　有一列整數，他的每一個數各不相同，我們不知道有多少個，但我們知道在
某些區間中至少有多少個整數，用區間（Ｌ，Ｒ，Ｃ）來描述，表示整數序列
中至少有Ｃ個整數來自子區間[L, R]，若干個這樣的區間，問這個整數序列的長
度最少能為多少。

 

區間選點算法實現：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct line
{
    int left;
    int right;
}a[100];

bool cmp(line p, line q)
{
    if(p.right != q.right)
        return p.right < q.right;
    return p.left > q.left;
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            cin >> a[i].left >> a[i].right;
        sort(a, a + n, cmp);
        int cnt = 0;
        int end = -1;
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            if(end >= a[i].left && end <= a[i].right)
                continue;
            else
            {
                ++cnt;
                end = a[i].right;
            }
        }
        cout << cnt << endl;
    }
    return 0;
}