在計算高等數學中的重積分之時，常常會遇到需要變換積分變量的情況。一般，這是由於坐標軸的替換。 當坐標軸進行變化，積分變量不會還是\(dxdy\),或者是三維的\(dxdydz\)。那么，新的積分變量是如何得出的呢？
不難發現，這本質上是一個重積分的換元過程。一重積分的換元法我們應該還記得是:
\[x\Rightarrow t \space|\space (x=X(t))\\ \int f(x)dx\Rightarrow \int f[X(t)] \frac{dx}{dt}\cdot dt \]
那么，對於二重，或者三重積分的換元，又應該如何去處理呢？如果按照形式類比下來，舉例如下：
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases}\\ ~\\ \int f(x,y)dxdy\Rightarrow \int f[X(u,v),Y(u,v)] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv \]
怎么樣，覺得兩者相像嗎？可是，\(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\)這個東西，也不知道怎么算啊？不如在這里再類比一下,比如，\(\frac{dx}{dt}\)是如何算出來的:
\[\frac{dx}{dt}= \begin{vmatrix} x_t \end{vmatrix} \]
由此可類比得:
\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} \]
好像得到了一個矩陣。實際上，這是雅可比矩陣。描述一個從\(\mathbb{R}_n\rightarrow\mathbb{R}_m\)的坐標空間的變換，可寫作\(J\)。而，這個矩陣的行列式\(|J|\)則描述在這個過程中體積的放縮系數。 也就是說，一個在\(\mathbb{R}_n\)空間中的幾何體，經由\(J\)映射到\(\mathbb{R}_m\)后，它的體積將會是原來的\(|J|\)倍。其可稱為雅可比行列式。
既然如此,而\(dxdy\)是一個\(\mathbb{R}_n\)中的體積微元，那么它在\(\mathbb{R}_m\)中的體積也就是\(|J|dudv\)。至此，便已經解釋清楚積分變量的替換是如何進行的了。
我為最常見的\(\mathbb{R}_m\)做了一個用於表示分類的思維導圖，如下：
graph LR a[積分]-->d[二重積分] a-->e[三重積分] d-->f[極坐標系] e-->g[柱面坐標系] e-->h[球面坐標系] style a fill:#01a2a6 style d fill:#bdf271 style e fill:#bdf271 style f fill:#ffffa6 style g fill:#ffffa6 style h fill:#ffffa6
下面，逐一為上圖中所涉及到的\(\mathbb{R}_m\)求解\(|J|\)，得出對應的新的積分變量。
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases} \]
\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot dudv\\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} =x_u\times y_v-x_v\times y_u ) \]
對於二重積分的極坐標，有:
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta)=\rho\cdot sin\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta \end{cases} \]
\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot d\rho d\theta \\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho ,\theta )}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdy=\rho\cdot d\rho d\theta \]
對於三重積分的柱面坐標，有:
\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta\\ z \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta,z)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta,z)=\rho\cdot sin\theta\\ z=Z(\rho,\theta ,z)=z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ x_z=0\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta\\ y_z=0\\ z_{\rho}=0\\ z_{\theta}=0\\ z_z=1 \end{cases} \]
\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot d\rho d\theta dz\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho ,\theta ,z)}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&x_z\\ y_{\rho}&y_{\theta}&y_z\\ z_{\rho}&z_{\theta}&z_z \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&0\\ y_{\rho}&y_{\theta}&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdydz=\rho\cdot d\rho d\theta dz \]
對於三重積分的球面坐標，有:
\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} r\\ \theta\\ \varphi \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ y=Y(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta sin\varphi\\ z=Z(r,\theta ,\varphi)=r\cdot cos\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{r}=sin\theta cos\varphi\\ x_{\theta}=r\cdot cos\theta cos\varphi\\ x_{\varphi}=-r\cdot sin\theta sin\varphi\\ y_{r}=sin\theta sin\varphi\\ y_{\theta}=r\cdot cos\theta sin\varphi\\ y_{\varphi}=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ z_{r}= cos\theta\\ z_{\theta}=-r\cdot sin\theta\\ z_{\varphi}=0 \end{cases} \]
\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot dr d\theta d\varphi\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r ,\theta ,\varphi)}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&z_{\varphi} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&0 \end{vmatrix}=z_r\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}\\ y_{r}&y_{\theta} \end{vmatrix}-z_{\theta}\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\varphi} \end{vmatrix}\\ \Rightarrow z_r\times(x_r\cdot y_{\theta}-x_{\theta}\cdot y_r)-z_{\theta}\times (x_r\cdot y_{\varphi}-x_{\varphi}\cdot y_r)=r^2sin\theta\\ dxdydz=r^2sin\theta\cdot d\rho d\theta dz \]