消元法解Ax=0
消元過程中，方程通過加減消元本質上是線性變換，解是不會改變的。實際上，消元法改變了系數矩陣的列空間，而不改變系數矩陣的行空間。
行向量或者列向量之間的相關性可以在消元過程中表現出來。
對 A 進行消元（消元不改變 A 的零空間，改變 A 的列空間）得
其中， 1,2為主元（每個非零行的第一個非零元素就是主元）， 1,2所在的列第一列、第三列稱為主元列，第二列、第四列稱為自由列。
主元的個數即為 A 的秩，即 rankA=2.
設 x=(x1,x2,x3,x4)^T，則 x1,x3稱為主變量，x2,x4 稱為自由變量，自由變量的個數為未知數的個數減去主元的個數（即減去 A 的秩），即若 A 是 m×n 維矩陣，則自由變量的個數為 n−rankA.
由於消元不改變方程組的解，因此求解 Ax=0就等價於求解 Ux=0.
分別取自由變量 (x2,x4)=(1,0), (x2,x4)=(0,1),可得 Ux=0的兩個特解
因此，零空間中的元素為:
簡化行階梯形式
在簡化行階梯形式中，主元上下的元素都為 0，且主元都為 1.
下面我們進一步將矩陣 U 化為簡化行階梯形式 R
也可以使用 MATLAB 命令 rref(A)
求解 Ax=0就等價於 Rx=0