作者：Grey
要解決的問題
數組在不變的情況下，前綴和數組可以用來加速生成i ~ j位置的累加和信息, 假設前綴和數組為preSum，那么i...j的累加和
sum[i...j] = preSum[j] - preSum[i-1]
但是如果數組要單點修改，則以上的情況不適用，樹狀數組(index tree)就是解決這個問題，時間復雜度可以達到O(logN)。
注：本文所有涉及到的數組操作均從下標1開始計算，下標0位置棄而不用
用輔助數組保存累加信息
申請一個輔助數組help, 大小和原始數組arr一樣，保存原始數組的累加信息，但是要基於如下規則來保存。
遍歷的位置i如果是奇數，則只管自己這個位置的內容，即：arr[i] = help[i]。
遍歷的位置i如果是偶數，則按如下規律：
0010管0001 ~ 0010的累加和，
00100 管 00001 ~ 00100的累加和，
0110 管 0101 ~ 0110的累加和
...
即某個偶數位置接管的區間是：把這個偶數位置二進制最右邊的1抹掉后再加1得出的位置一直到這個位置本身。
比如：
1010111000這個位置，把最右邊的1抹掉后，值為1010110000,再加1，值為1010110001,所以1010111000這個位置接管的累加和是從1010110001 ~ 1010111000。
通過以上做法生成help數組后，我們可以通過這個help數組快速響應單點更新，並快速求得前綴和。
根據help數組快速計算前綴累加和
按如上流程生成help數組后，如果要計算1..i位置的累加和，則有如下規則：
第一步，提取出i最右側的1，假設為x，將help[i] + help[i-x]，得出a1
第二步，繼續提取i-x最右側的1，假設為y，將a + help[i- x - y]，得出a2
...
直到i提取完所有最右側的1，求累加，得到的結果即為1...i上的累加和。
public int sum(int index) {
int ret = 0;
while (index > 0) {
ret += tree[index];
index -= index & -index;
}
return ret;
}
其中index&-index即為index最右側的1。
i位置的前綴和
如果單點有更新，比如需要在index位置上的值增加一個d，此時需要考慮哪些位置受到了牽連。
單點的二進制最末尾的1加1，依次到數組結尾，都是受到牽連的位置
public void add(int index, int d) {
while (index <= N) {
tree[index] += d;
index += index & -index;
}
}
index += index & -index; 即為受到牽連的位置，所以這些位置都要執行加d的操作。
線段樹 VS 樹狀數組
線段樹是樹狀數組的升級版，樹狀數組只能做到單點更新后，維持累加和信息的快速更新，線段樹可以支持范圍更新，但是樹狀數組可以很方便改成二維或者三維的，對於線段樹來說，改成二維的太復雜。
二維樹狀數組
二維樹狀數組主要解決：在單點變化時候，快速更新從左上角位置（1,1）累加到(i,j)位置的累加和信息這個問題。
熟悉一維數組后，二維的樹狀數組比較簡單，原先一維數組只需要考慮1...i位置累加和，現在二維除了考慮1...i位置累加和，還要考慮1...j位置的累加和
二維樹狀數組的sum方法和update方法如下
private int sum(int row, int col) {
int sum = 0;
for (int i = row + 1; i > 0; i -= i & (-i)) {
for (int j = col + 1; j > 0; j -= j & (-j)) {
sum += tree[i][j];
}
}
return sum;
}
public void update(int row, int col, int val) {
if (N == 0 || M == 0) {
return;
}
int add = val - nums[row][col];
nums[row][col] = val;
for (int i = row + 1; i <= N; i += i & (-i)) {
for (int j = col + 1; j <= M; j += j & (-j)) {
tree[i][j] += add;
}
}
}
即在一維的條件下，增加了一個循環。
現在有了二維樹狀數組，如果要求整個二維平面中，任意[row1,col1]位置到[row2,col2]位置組成的矩形累加和信息，則可以很方便通過二維數狀數組計算出來：
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
if (N == 0 || M == 0) {
return 0;
}
return sum(row2, col2) + sum(row1 - 1, col1 - 1) - sum(row1 - 1, col2) - sum(row2, col1 - 1);
}