FBI WARNING
在閱讀前，請先弄懂單點修改+區間查詢和區間修改+單點查詢。
近日，本萌新在學習了樹狀數組后，在某度上尋找了各大大佬的區間修改+區間查詢的博客。
發現了高一年級無法理解的奇怪的操作...
於是乎，在我的不懈努力（手動模擬）之下，終於弄懂了這個樹狀數組區間求和修改的奧♂義。
那么首先我們假設一個數組a，里面是我們的所有數。
讓我們回憶一下區間修改需要干什么，對了！維護差分數組！
所以我們再來一個數組d，是我們數組a的差分數組。
所以a[i] = d[1] + d[2] + .. + d[i]; (下標從一開始)
因此我們只需要維護一個差分數組就可以了。
讓我們再回憶一下區間查詢該怎么做，對了！前綴和！
那么肯定有人要問了，我堂堂正正一個差分數組，前綴和怎么搞？
現在我們來看一下：
-
a[1] = d[1];
-
a[2] = d[1] + d[2];
-
a[3] = d[1] + d[2] + d[3];
-
a[4] = d[1] + d[2] + d[3] + d[4];
停！打住！夠了。
假設我們要求sum[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]。
那么我們的式子就會變成;
sum[4] = d[1] + d[1] + d[2] + d[1] + d[2] + ........ + d[4];
超麻煩啊喂！
我們回去再看一看a[1] - a[4]那四行。這次我們豎着看。
有沒有豁然開朗的趕腳！
sum[4] = d[1] ∗ 4 + d[2] ∗ 3 + d[3] ∗ 2 + d[4] ∗ 1;
接下來再看....
sum[4] = d[1] ∗ 4 + d[2] ∗ 3 + d[3] ∗ 2 + d[4] ∗ 1;
= (d[1] ∗ 5 + d[2] ∗ 5 + .. d[4] ∗ 5) - d[1] ∗ 1 + d[2] ∗ 2 + .. d[4] ∗ 4;
所以如果我們要求sum[i];
sum[i] = (i + 1)∗(d[1] + d[2] + .. d[i]) - (d[1]∗1 + d[2] ∗ 2 + .. d[i] ∗ i);
現在我們嘗試將這個式子與前綴和聯系起來:
看這個 (d[1] + d[2] + .. d[i])
這不是 d[i]的前綴和嗎？！
再看這個 (d[1]∗1 + d[2] ∗ 2 + .. d[i] ∗ i)
如果我們考慮再弄一個數組d2。
d2[i] = d[i] * i;
帶入一下 (d2[1] + d2[2] + .. d2[i])
就變成了d2的前綴和！
所以我們將a數組差分后放進d數組里，初始化d2[i] = d[i] * i
我們就可以弄兩個樹狀數組，一個維護d，一個維護d2
接下來放 P3372的代碼。大家也可以去做一下（用樹狀數組哦）
首先需要這倆
LL d_tr[100005],d2_tr[100005]; // 分別是維護d和d2的樹狀數組
這是更新操作
void add(int x,LL v) // 在x的位置加上v
{
for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
d_tr[i] += v;
d2_tr[i] += x * v;
}
// 因為 d2_tr[x] += d_tr[x] * x;
// d_tr[x] += v;所以我們要更新d2_tr[x] = (d_tr[x] + v) * x;
// 就相當於 d2_tr[x] += x * v;
// 然后向上更新
// 循環中的i是用來代替向上更新的x的,不懂得可以手動模擬一下~
}
這是查詢
LL sum(int x) // 查詢前綴和
{
long long ans = 0;
for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)){
ans += (x+1) * d_tr[i] - d2_tr[i];
}
// 根據我們推出來的東西求前綴和
// 不懂的話，手動模擬依舊是個好辦法
return ans;
}
輸入時的初始化
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
add(i,a[i] - a[i-1]); // 將差分后的值放入樹狀數組
}
主函數中的更新記得寫成這樣
add(x,v); //區間更新操作，差分的知識
add(y+1,-v);
主函數中的查詢記得寫成這樣
LL ans = sum(y) - sum(x-1); //前綴和之差算區間和
printf("%lld\n",ans);
總代碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL a[100005],n,m;
LL d_tr[100005],d2_tr[100005]; // 分別是維護d和d2的樹狀數組
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add(int x,LL v) // 在x的位置加上v
{
for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
d_tr[i] += v;
d2_tr[i] += x * v;
}
// 因為 d2_tr[x] += d_tr[x] * x;
// d_tr[x] += v;所以我們要更新d2_tr[x] = (d_tr[x] + v) * x;
// 就相當於 d2_tr[x] += x * v;
// 然后向上更新
// 循環中的i是用來代替向上更新的x的,不懂得可以手動模擬一下~
}
LL sum(int x) // 查詢前綴和 主函數里要寫成sum(y) - sum(x-1);
{
long long ans = 0;
for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)){
ans += (x+1) * d_tr[i] - d2_tr[i];
}
// 根據我們推出來的東西求前綴和
// 不懂的話，手動模擬依舊是個好辦法
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
add(i,a[i] - a[i-1]); // 將差分后的值放入樹狀數組
}
while(m--){
LL v;
int op,x,y;
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if(op == 1){
scanf("%lld",&v);
add(x,v); //區間更新操作，差分的知識
add(y+1,-v);
}
else {
LL ans = sum(y) - sum(x-1); //前綴和之差算區間和
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}