“高級”數據結構——樹狀數組！
※本文一切代碼未經編譯，不保證正確性，如發現問題，歡迎指正！
1. 單點修改 + 區間查詢
最簡單的樹狀數組就是這樣的：
void add(int p, int x){ //給位置p增加x
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
int ask(int p){ //求位置p的前綴和
int res = 0;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}
int range_ask(int l, int r){ //區間求和
return ask(r) - ask(l - 1);
}
2. 區間修改 + 單點查詢
通過“差分”（就是記錄數組中每個元素與前一個元素的差），可以把這個問題轉化為問題1。
查詢
設原數組為\(a[i]\), 設數組\(d[i] = a[i] - a[i - 1] (a[0] = 0)\)，則 \(a[i] = \sum_{j = 1}^{i}d[j]\)，可以通過求\(d[i]\)的前綴和查詢。
修改
當給區間\([l, r]\)加上x的時候，\(a[l]\) 與前一個元素 \(a[l - 1]\) 的差增加了\(x\)，\(a[r + 1]\) 與 \(a[r]\) 的差減少了\(x\)。根據\(d[i]\)數組的定義，只需給\(d[l]\) 加上 \(x\), 給\(d[r + 1]\) 減去 \(x\) 即可。
void add(int p, int x){ //這個函數用來在樹狀數組中直接修改
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
void range_add(int l, int r, int x){ //給區間[l, r]加上x
add(l, x), add(r + 1, -x);
}
int ask(int p){ //單點查詢
int res = 0;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}
3. 區間修改 + 區間查詢
這是最常用的部分，也是用線段樹寫着最麻煩的部分——但是現在我們有了樹狀數組！
怎么求呢？我們基於問題2的“差分”思路，考慮一下如何在問題2構建的樹狀數組中求前綴和：
位置p的前綴和 =
在等式最右側的式子\(\sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{i} d[j]\)中，\(d[1]\) 被用了\(p\)次，\(d[2]\)被用了\(p - 1\)次……那么我們可以寫出：
位置p的前綴和 =
那么我們可以維護兩個數組的前綴和：
一個數組是 \(sum1[i] = d[i]\)，
另一個數組是 \(sum2[i] = d[i] * i\)。
查詢
位置p的前綴和即： (p + 1) * sum1數組中p的前綴和 - sum2數組中p的前綴和。
區間[l, r]的和即：位置r的前綴和 - 位置l的前綴和。
修改
對於sum1數組的修改同問題2中對d數組的修改。
對於sum2數組的修改也類似，我們給 sum2[l] 加上 l * x，給 sum2[r + 1] 減去 (r + 1) * x。
void add(ll p, ll x){
for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void range_add(ll l, ll r, ll x){
add(l, x), add(r + 1, -x);
}
ll ask(ll p){
ll res = 0;
for(int i = p; i; i -= i & -i)
res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r){
return ask(r) - ask(l - 1);
}
用這個做區間修改區間求和的題，無論是時間上還是空間上都比帶lazy標記的線段樹要優。
4. 二維樹狀數組
我們已經學會了對於序列的常用操作，那么我們不由得想到（誰會想到啊喂）……能不能把類似的操作應用到矩陣上呢？這時候我們就要寫二維樹狀數組了！
在一維樹狀數組中，tree[x]（樹狀數組中的那個“數組”）記錄的是右端點為x、長度為lowbit(x)的區間的區間和。
那么在二維樹狀數組中，可以類似地定義tree[x][y]記錄的是右下角為(x, y)，高為lowbit(x), 寬為 lowbit(y)的區間的區間和。
單點修改 + 區間查詢
void add(int x, int y, int z){ //將點(x, y)加上z
int memo_y = y;
while(x <= n){
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
void ask(int x, int y){//求左上角為(1,1)右下角為(x,y) 的矩陣和
int res = 0, memo_y = y;
while(x){
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
}
區間修改 + 單點查詢
我們對於一維數組進行差分，是為了使差分數組前綴和等於原數組對應位置的元素。
那么如何對二維數組進行差分呢？可以針對二維前綴和的求法來設計方案。
二維前綴和：
那么我們可以令差分數組\(d[i][j]\) 表示 \(a[i][j]\) 與 \(a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]\) 的差。
例如下面這個矩陣
1 4 8
6 7 2
3 9 5
對應的差分數組就是
1 3 4
5 -2 -9
-3 5 1
當我們想要將一個矩陣加上x時，怎么做呢？
下面是給最中間的3*3矩陣加上x時，差分數組的變化：
0 0 0 0 0
0 +x 0 0 -x
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 -x 0 0 +x
這樣給修改差分，造成的效果就是：
0 0 0 0 0
0 x x x 0
0 x x x 0
0 x x x 0
0 0 0 0 0
那么我們開始寫代碼吧！
void add(int x, int y, int z){
int memo_y = y;
while(x <= n){
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
void range_add(int xa, int ya, int xb, int yb, int z){
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + 1, -z);
add(xb + 1, ya, -z);
add(xb + 1, yb + 1, z);
}
void ask(int x, int y){
int res = 0, memo_y = y;
while(x){
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
}
區間修改 + 區間查詢
類比之前一維數組的區間修改區間查詢，下面這個式子表示的是點(x, y)的二維前綴和：
把這個式子展開，就得到：
那么我們要開四個樹狀數組，分別維護：
\(d[i][j], d[i][j] * i, d[i][j] * j, d[i][j] * i * j\)
這樣就完成了！
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
char c; bool op = 0;
while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
ll res = c - '0';
while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = res * 10 + c - '0';
return op ? -res : res;
}
const int N = 205;
ll n, m, Q;
ll t1[N][N], t2[N][N], t3[N][N], t4[N][N];
void add(ll x, ll y, ll z){
for(int X = x; X <= n; X += X & -X)
for(int Y = y; Y <= m; Y += Y & -Y){
t1[X][Y] += z;
t2[X][Y] += z * x;
t3[X][Y] += z * y;
t4[X][Y] += z * x * y;
}
}
void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb, ll z){ //(xa, ya) 到 (xb, yb) 的矩形
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + 1, -z);
add(xb + 1, ya, -z);
add(xb + 1, yb + 1, z);
}
ll ask(ll x, ll y){
ll res = 0;
for(int i = x; i; i -= i & -i)
for(int j = y; j; j -= j & -j)
res += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j]
- (y + 1) * t2[i][j]
- (x + 1) * t3[i][j]
+ t4[i][j];
return res;
}
ll range_ask(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb){
return ask(xb, yb) - ask(xb, ya - 1) - ask(xa - 1, yb) + ask(xa - 1, ya - 1);
}
int main(){
n = read(), m = read(), Q = read();
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
ll z = read();
range_add(i, j, i, j, z);
}
}
while(Q--){
ll ya = read(), xa = read(), yb = read(), xb = read(), z = read(), a = read();
if(range_ask(xa, ya, xb, yb) < z * (xb - xa + 1) * (yb - ya + 1))
range_add(xa, ya, xb, yb, a);
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++)
printf("%lld ", range_ask(i, j, i, j));
putchar('\n');
}
return 0;
}