【初識——樹狀數組】 區間求和

說樹狀數組其實是一個索引表，但是是一個特殊的，樹狀的索引表，它利用了二進制的一些特性。

 

就區間求和的要求來說：

首先我們用a[]數組來存儲原始數據。然后在a[]之上構造c[]數組來作為樹狀數組。

如圖

 

這個圖表示，當i為奇數時，c[i]中保存的都是a[i]本身。然后，c[2]中保存了a[1], a[2]，共2個，c[4]中保存的是a[1], a[2], a[3], a[4]，c[6]又是保存兩個，c[5]和c[6]。c[8]保存8個,c[1], c[2], c[3], c[4], c[5], c[6], c[7], c[8]。

看出什么規律沒有？

如果將這些下標差成2進制序列就容易看出來規律了——

如果從右向左看，第一個是1的數位是第1位，那么c[i]中只有1個數，如果第一個是1的數位式第2位，那么c[i]中有2個數，如果是3，那么c[i]中有4個數，以此類推。

但是怎么代碼怎么實現呢？

我們可以這樣做——

首先取這個數的下標i，然后取這個數按位數最右邊的1加在i上，所得就是下一個需要加當前數的下標，以此類推，直到取到下標大於等於最大下標n。

代碼——

void Add(int x, int y)
{
    a[x] += y;
    while(x <= n)
    {
        c[x] += y;
        x += lowbit(x);
    }
}

 

 

當然，給某個數加上減上多少也可以用這個做。

 

區間求和的方法：

取從i到j之間的區間和

一種方法是取從1到j的和，然后減去從1到i的和。

取的方法——

從j開始，然后j減去j按位數最右端的1，得到的就是下一個需要的下標，減到0時結束。

 

int Sum(int x)
{
    int rt = 0;
    while(x > 0)
    {
        rt += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return rt;
}

printf("%d\n", Sum(b)-Sum(a-1));

 

另一種方法是從j開始，如果j減去從右往左第一個1的差小於i，則結果加a[j]，然后j -= 1；否則結果加c[j], j減去從右向左第一個1。

 

int Summ(int l, int r)
{
    int rt = 0;
    while(r >= l)
    {
        if(r-lowbit(r) < l)
        {
            rt += a[r];
            r -= 1;
        }
        else
        {
            rt += c[r];
            r -= lowbit(r);
        }
    }
    return rt;
}

 

不過這個貌似較慢……

 

完整代碼——

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 50005;

int t, n;
int a[N];
int c[N];
char s[10];
int x, y;

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void Add(int x, int y)
{
    a[x] += y;
    while(x <= n)
    {
        c[x] += y;
        x += lowbit(x);
    }
}

int Sum(int x)
{
    int rt = 0;
    while(x > 0)
    {
        rt += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return rt;
}

int Summ(int l, int r)
{
    int rt = 0;
    while(r >= l)
    {
        if(r-lowbit(r) < l)
        {
            rt += a[r];
            r -= 1;
        }
        else
        {
            rt += c[r];
            r -= lowbit(r);
        }
    }
    return rt;
}

void Query(int a, int b)
{
    printf("%d\n", Sum(b)-Sum(a-1));
    //printf("%d\n", Summ(a, b));
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    scanf("%d", &t);
    for(int tm = 1; tm <= t; tm++)
    {
        scanf("%d", &n);
        memset(c, 0, sizeof(c));
        memset(a, 0, sizeof(a));
        int y;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &y);
            Add(i, y);
        }
        printf("Case %d:\n", tm);

        scanf("%s", s);
        while(s[0] != 'E')
        {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            if(s[0] == 'A') Add(x, y);
            if(s[0] == 'Q') Query(x, y);
            if(s[0] == 'S') Add(x, -y);
            scanf("%s", s);
        }
    }
}