【進階——樹狀數組】 區間求最值

上一篇講的是區間求和，這一篇講區間求最值。

首先，a[]數組仍然是保存原始數據。但是c[]數組變了，c[i]將會保存從a[1]到a[i]的最值。

初始化c[]：

當我們輸入a[i]時，c[i]需要需要向前依次枚舉被c[i]所包含的c[]數組。比如，當i == 8時，需要向前依次枚舉c[7], c[6], c[4]，取a[8]與這幾個c[]中的最值保存在c[8]中。找到c[]的規律了沒有？依次是i-1, i-2, i-4...

void Init()
{
    int  y;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &y);
        a[i] = y;
        c[i] = y;
        for(int j = 1; j <lowbit(i); j <<= 1)           //需要比較的c[]
            c[i] = c[i] > c[i-j] ? c[i] : c[i-j];
    }
}

可以看出，每輸入一個a[i]，處理c[i]的時間復雜度為log2(n)，輸入n個，初始化的時間復雜度就是n*log2(n)。

 

修改c[]：

我們改變了一個a[i]，那么就需要修改所有與a[i]，相關的c[]。修改每個的c[]的方法可以用上面初始化的方法，而需要修改的c[]可以用區間求和里的一段代碼確定。

 

void Maxn(int x, int y)
{
    a[x] = y;
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))              //需要修改的c[]
    {
        c[i] = y;
        for(int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1)          //修改時需要比較的c[]
        {
            c[i] = c[i] > c[i-j] ? c[i] : c[i-j];
        }
    }
}

 

每次修改的時間復雜度近似為log2(n)*log2(n)。

 

查詢：

查詢從a[i]到a[j]之間的最值(i <= j)。我們不能直接查看c[j]，因為也許c[j]中包含的區間[l, r]中l < i或l > i，c[j]不能恰好包含區間[i, j]。

因此，當l < i時，我們就取a[j]與當前已經取到的最值比較，如果a[j]滿足取代條件，就用a[j]取代當前最值。

當l >= i，我們取c[j]與當前最值比較，如果c[j]，滿足取代條件，就用c[j]取代當前最值。

當l == i時，比較結束。

 

void Query(int l, int r)
{
    int ans = 0;
    while(1)
    {
        ans = ans > a[r] ? ans : a[r];
        if(r == l) break;
        for(r -= 1; r-l >= lowbit(r); r -= lowbit(r))
            ans = ans > c[r] ? ans : c[r];
    }
    printf("%d\n", ans);
}

 

時間復雜度近似為log2(n)。

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 200010;

int a[N], c[N];
int t, n, m;

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void Maxn(int x, int y)
{
    a[x] = y;
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))              //需要修改的c[]
    {
        c[i] = y;
        for(int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1)          //修改時需要比較的c[]
        {
            c[i] = c[i] > c[i-j] ? c[i] : c[i-j];
        }
    }
}

void Init()
{
    int  y;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &y);
        a[i] = y;
        c[i] = y;
        for(int j = 1; j <lowbit(i); j <<= 1)           //需要比較的c[]
            c[i] = c[i] > c[i-j] ? c[i] : c[i-j];
    }
}

void Query(int l, int r)
{
    int ans = 0;
    while(1)
    {
        ans = ans > a[r] ? ans : a[r];
        if(r == l) break;
        for(r -= 1; r-l >= lowbit(r); r -= lowbit(r))
            ans = ans > c[r] ? ans : c[r];
    }
    printf("%d\n", ans);
}

void Work()
{
    char s[2];
    int x, y;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%s%d%d", s, &x, &y);
        if(s[0] == 'U') Maxn(x, y);
        else if(s[0] == 'Q') Query(x, y);
    }
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        Init();
        Work();
    }
}

 

樹狀數組區間求和——
http://www.cnblogs.com/mypride/p/5001858.html