好久沒寫東西，感覺有寫些什么的必要了。（高仿魯迅）
樹狀數組雖然聽起來名字高大上，但是不是很難（前綴和是名字高大上，卻水得像海洋）
樹狀數組在單純的查詢一個區間的和和修改某一個數的效率要超過線段樹哦！樹狀數組最差時間復雜度為O(logn)，而線段樹的時間復雜度一直保持O(logn)，且線段樹的空間復雜度是樹狀數組的4倍。
But：樹狀數組只是線段樹的一個辣雞版本（雖然在某些方面比線段數快一點點），使用樹狀數組很大的一個原因是樹狀數組十分好寫，且非常好維護。但是它只能處理可以用前綴和或差分來解決的題目，像是求(l,r)之間的最大值，樹狀數組就會Game Over。
為什么叫樹狀數組呢？因為它長得像樹一樣（廢話），就像這個樣子：
表示我的畫圖技術和畫圖軟件都爛炸了（逃）
現在假如有n個數，存在A數組里，用C數組當樹狀數組，從A[1]開始存入，一直存到A[n]，然后順便把C數組初始化。（一會兒解釋為什么不從A[0]開始存）
通過看圖，可以得到這么一個結論：
C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
現在找找規律！
好吧，是不是有感覺了但是表達不出來？
再處理一下，把C數組的下標用二進制表示出來
C(1) = A1
C(10) = A1+A2
C(11) = A3
C(100) = A1+A2+A3+A4
C(101) = A5
C(110) = A5+A6
C(111) = A7
C(1000) = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
我們把這些下標的二進制從后面往前面看，看到出現一個1為止：
C(1) = A1
C(10) = A1+A2
C(1) = A3
C(100) = A1+A2+A3+A4
C(1) = A5
C(10) = A5+A6
C(1) = A7
C(1000) = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
最后一個處理，把讀后的二進制下標再轉換成十進制：
C(1) = A1
C(2) = A1+A2
C(1) = A3
C(4) = A1+A2+A3+A4
C(1) = A5
C(2) = A5+A6
C(1) = A7
C(8) = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
現在絕對能看懂了（自信滿滿）
好了，“顯然”可以看出，假如原來C數組的下標為a，現在的下標為b，那么這個C[a]就對應着從A[b]和它前面總共b個數的和，或者可以說，對應着從A[a-b+1]到A[b]的數的和。（原本很簡單的東西為啥講出來這么麻煩？）
有人要說了：講這么半天，你也沒有告訴我怎么初始化（玩）樹狀數組。
好吧好吧，現在開始講（che）解（dan）。
還是從一道模板題開始最好了QvQ！（然后從一道模板題結束......）
題目描述
如題，已知一個數列，你需要進行下面兩種操作：
1.將某一個數加上x
2.求出某區間每一個數的和
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行包含兩個整數N、M，分別表示該數列數字的個數和操作的總個數。
第二行包含N個用空格分隔的整數，其中第i個數字表示數列第i項的初始值。
接下來M行每行包含3個整數，表示一個操作，具體如下：
操作1： 格式：1 x k 含義：將第x個數加上k
操作2： 格式：2 x y 含義：輸出區間[x,y]內每個數的和
輸出格式：
輸出包含若干行整數，即為所有操作2的結果。
輸入輸出樣例
輸入樣例：
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4
輸出樣例：
14
16
說明
時空限制：1000ms,128M
數據規模：
對於30%的數據：N<=8，M<=10
對於70%的數據：N<=10000，M<=10000
對於100%的數據：N<=500000，M<=500000
這道題明顯是要用樹狀數組做嘛！（笑）
題目的意思非常好懂，就是n個數，m個操作。操作分兩種，一種是查詢區間和，一種是修改（增加）第幾個數的值。
那么開始碼代碼吧，先從主函數（main）開始：
因為A數組里的所有值在C數組里都能查詢到，所以並不需要建一個A數組，只需要讀一個數，然后把C數組更新一下便好了。
代碼如下：
cin>>n>>m;//分別是n個數m個操作
for(int i=1;i<=n;i++){
int v;
cin>>v;
update(i,v);//這個函數是在序列（假想的A數組）第i個位置加上v，因為初始都是零，所以相當於初始化，這個函數的實現后面講
}
讀入之后，就是m個操作了：
for(int i=1;i<=m;i++){
int k,a,b;
cin>>k>>a>>b;//k是模式（題中有），a和b下面要用到
if(k==1)
update(a,b);//在序列的第a個位置加上b
else//如果不是在某個位置上加一個數，就是求區間和啦
cout<<sum(b)-sum(a-1)<<endl;//輸出區間和，這個看不懂不要緊，后面講（怎么什么都后面講poq）
}
好吧，現在主函數除了return 0;以外都寫完了，現在就到了講（che）最難的update和sum函數了（其實還有一個lowbit函數）
先回到那個(有趣的)圖:
唉，丑陋不堪！
再把最開始得到的結論搬出來：
C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
還有這個：
C(1) = A1
C(10) = A1+A2
C(11) = A3
C(100) = A1+A2+A3+A4
C(101) = A5
C(110) = A5+A6
C(111) = A7
C(1000) = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
舉個栗子，假如我們修改了A[3]的值，C數組中的哪些元素需要修改呢？
通過看圖和看圖后得到的結論，“顯然“就是包含A[3]的C數組的元素，或者說是C[3]和它的”祖先”（反正人們說樹都喜歡用祖先這個詞），也就是C[3]，C[4]和C[8]。
因為你不能給計算機一個xxx.jpg然后讓它自動修改需要修改的C數組的元素是不是？所以現在，得到一個遞推式來自動處理顯得很有必要了。
現在你不用自己找了，因為已經有人幫你找好了。
我們設x下標的二進制從后面往前面看，看到出現一個1時，我們看過的二進制為lowbit(x)，如，3的二進制是11，那么lowbit(3)便是1了，又如4的二進制是100,那么lowbit(4)就是100了。
如果我們把3加上lowbit(3)，得到4，再把4加上lowbit(4)，就得到我們要的8了，這樣，就愉快地把要修改的C數組的元素全部找到了。
先把lowbit函數給寫了吧：
int lowbit(int x){
return x& (-x);
}
至於這個lowbit里面是怎么回事，因為涉及到補碼什么的，就不講了，反正也很好記๑乛◡乛๑
不過不能一直加下去吧？邊界條件很好找，就是x不會超過n（顯然易見的）。
現在把update函數也放出來：
void update(int x,int v){
while(x<=n){//邊界條件
c[x]+=v;//將要更新的C數組的元素加上v
x+=lowbit(x);//下一個元素
}
}
之前有一個問題，就是為什么A數組不從0開始，因為lowbit(0)等於0,那么就會永遠達不到邊界條件，也就是x永遠也不會達到n，總之會無限循環下去，就炸了，炸了！
好啦，現在唯一沒有講（che）的是主函數中的這句話了：
cout<<sum(b)-sum(a-1)<<endl;
很簡單，sum(x)函數是計算序列中第1個數到第x個數的和的函數（繞暈），和前綴和的思想相同，若想求第a個數到第b個數的和，只需要求第1個數到第b個數的和減第1個數到第a-1個數的和即可
那么是時候講（che）sum函數的構造了！
假如要求序列中第1個數到第7個數的和該怎么弄？看看表就明白了——>C[7]+C[6]+C[4]，再拆成二進制C(111)+C(110)+C(100)。那么假如要求序列中第1個數到第6個數的和呢？再看一下表C[6]+C[4]，再拆成二進制C(110)+C(100)。
可以看出來，要求第1個數到第x個數的和，只需要從x開始向下遞推，然后用一個變量將一堆C[x]加起來，就可以得到第1個數到第x個數的和了，邊界條件也是“顯然易見”的，那就是x>0或x>=1。
話不多說，上代碼：
int sum(int x){
int res=0;//保存一堆C[x]的和的變量
while(x>0){//邊界條件
res+=c[x];//加上......
x-=lowbit(x);//下一個
}
return res;
}
這樣，這道題就可以AC了！
附上完整代碼：
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
static int n,m;
static int c[500005];
inline int lowbit(int x){
return x& (-x);
}
void update(int x,int v){
while(x<=n){
c[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x){
int res=0;
while(x>0){
res+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
int v;
cin>>v;
update(i,v);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int k,a,b;
cin>>k>>a>>b;
if(k==1)
update(a,b);
else
cout<<sum(b)-sum(a-1)<<endl;
}
return 0;
}
請無視我手動開的O3和C++17中全局變量必須加的static......（逃）