前言
審題是求解數學題目之前，必須過好的一關，審題能力是解題的關鍵能力之一，本博文結合一個比較復雜的函數例子，說明該如何審題，如何組織解答過程，以期對學生的思維有所啟迪。
例說審題
〔審題分析〕由於 \(g(x)=a x^{2}-x\)， 則函數 \(y=f[g(x)]=\log _{a}\left(a x^{2}-x\right)\)，則到此，我們知道題目給定了復合函數\(f[g(x)]\)，內函數為\(g(x)\)，外函數為\(f(x)\)，題目要求復合函數在區間\([2,4]\)上是增函數，則我們需要考慮以下的因素：
①確定外函數的單調性，外函數是對數函數，底數不確定，故到時候需要針對底數分類討論(只能分類為\(0<a<1\)和\(a>1\)兩種)，因為只有針對底數分類討論才能說清楚外層的單調性；
②確定內函數的單調性，對於內層函數而言是二次函數，圖象為開口向上的拋物線，要確定其單調性，需要針對對稱軸\(x=\cfrac{1}{2a}\)和給定區間\([2,4]\)的位置關系分類，如果要內函數在\([2,4]\)上單調遞增，需要對稱軸在\(2\)的左側或\(2\)處，此時用表達式\(\cfrac{1}{2a}\leqslant 2\)來刻畫；如果要內函數在\([2,4]\)上單調遞減，需要對稱軸在\(4\)的右側或\(4\)處，此時用表達式\(\cfrac{1}{2a}\geqslant 4\)來刻畫；
③確保內函數在區間\([2,4]\)上都有意義，即確定內函數的定義域為\([2,4]\)(這一點容易遺忘)，需要對\(\forall x\in [2,4]\)，\(ax^2-x>0\)必須恆成立，但是我們不是把所有\(x\)都代入驗證，由於是恆成立問題，當內函數在區間\([2,4]\)上單調遞減時，只需要其最小值\(g(4)>0\)即可；當內函數在區間\([2,4]\)上單調遞增時，只需要其最小值\(g(2)>0\)即可，
當考慮清楚了以上的各種因素，我們就可以借助上述的分析框架，書寫解答過程了。
〔解答〕： 由於 \(g(x)=a x^{2}-x\)， 則函數 \(y=f[g(x)]=\log _{a}\left(a x^{2}-x\right)\).
由函數 \(g(x)=a x^{2}-x\) 的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線 \(x=\cfrac{1}{2 a}\)，
① 當 \(0<a<1\)時（外函數是單調遞減的），要使得復合函數 \(f[g(x)]\) 在區間 \([2，4]\) 上單調遞增，
則\(g(x)=ax^2-x\)在\([2,4]\)上單調遞減，且\(g(x)_{\min}>0\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{2 a} \geq 4\\ g(4)=16a-4>0\end{array}\right.\)，
解得， \(a\in \varnothing\)，
② 當 \(a>1\)時，要使得復合函數 \(f[g(x)]\) 在區間 \([2，4]\) 上單調遞增，
則\(g(x)=ax^2-x\)在\([2,4]\)上單調遞增，且\(g(x)_{\min}>0\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{2a} \leq 2\\ g(2)=4a-2>0\end{array}\right.\)，
解得\(a>\cfrac{1}{2}\)，又由於\(a>1\)，故\(a>1\)，
綜上， 滿足題意的實數 \(a\) 的取值范圍是 \((1，+\infty)\).