前言
典例剖析
法1：常規通用的解法，方便快捷不易出錯，
根據題意， 函數 \(y=f(x)\) 是定義域為 \(R\) 的奇函數， 則 \(f(0)=0\)，
當 \(x \in(0，+\infty)\) 時是減函數， 且 \(f(1)=0\)， 則函數在 \((0，+\infty)\) 上只有 一個零點，
又由於函數 \(y=f(x)\) 是奇函數且當 \(x \in(0，+\infty)\) 時是減函數， 則 \(f(x)\) 在 \((-\) \(\infty， 0\) )上是減函數，
又由 \(f(1)=0\)， 則 \(f(-1)\)\(=\)\(-f(1)\)\(=\)\(0\)， 則函數在 \((-\infty，0)\)上只有一個零點.
故函數 \(y=f(x)\) 共有\(3\)個零點， 依次為 \(-1\) ， \(0\) ， \(1\).
則對於函數 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\)，
當 \(x^{2}-2|x|=-1\) 時，解得\(x=\pm 1\)原方程等價於\(|x|^2\)\(-\)\(2|x|\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\)，即\((\)\(|x|\)\(-\)\(1\)\()^2\)\(=\)\(0\)，即\(|x|\)\(=\)\(1\)，解得\(x\)\(=\)\(\pm 1\)；；
當 \(x^{2}-2|x|=0\) 時，解得 \(x=\pm 2\) 或 \(x=0\) ；
當 \(x^{2}-2|x|=1\) 時，解得 \(x=1+\sqrt{2}\) 或 \(x=-1-\sqrt{2}\) ；
故函數 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\) 的零點共有 \(7\) 個.
〔解后反思〕對於求解復合函數\(f[g(x)]\)的零點而言，我們一般先求解外函數\(f(u)\)的零點\(u_0\)[注意\(f(u_0)\)\(=\)\(0\)]，然后令\(g(x)\)\(=\)\(u_0\)，通過解方程就可以求得復合函數\(f[g(x)]\)的零點。
法2：學生解法，[他們能想到做出復合函數的圖象，找出零點，思路是對的，但作圖中出了問題，又找不到錯誤的地方]
為便於做復合函數的圖像，我們分別作出內外兩層函數的圖象如下圖：
能看出來，內函數\(g(x)=x^2-2|x|\)為偶函數，外函數為奇函數，故復合函數\(f[g(x)]\)為偶函數，
復合函數的定義域為\(R\)，我們重點做\([0，+\infty)\)上的圖象；
當\(x=0\)時，\(g(0)=0\)，則\(f[g(x)]=f(0)=0\)，故函數圖象上有點\((0,0)\)，
當\(0<x<1\)時，內函數\(g(x)\)單調遞減，且\(g(x)\in (-1,0)\)，此時外函數也單調遞減，故\(f[g(x)]\)單調遞增，此時我們作圖時將\(y\)軸視為漸近線，
當\(x=1\)時，\(g(1)=0\)，故\(f[g(1)]=f(0)=0\)，故當\(x\in (0,1]\)時，\(f[g(x)]\)由 \(-\infty\)增大到 \(0\)；
當\(1<x<2\)時，內函數\(g(x)\)單調遞增，且\(g(x)\in (-1,0)\)，此時外函數也單調遞減，故\(f[g(x)]\)單調遞減，
當\(x=2\)時，\(g(2)=0\)，則\(f[g(2)]=f(0)=0\)，故當\(x\in [1,2)\)時，\(f[g(x)]\)由 \(0\)減小到\(-\infty\)；故此時我們作圖時將直線\(x=2\)視為漸近線，且函數圖象上有點\((2,0)\)，
由\(x^2-2|x|=1\)，解得\(x=1+\sqrt{2}\)，當\(2<x<1+\sqrt{2}\)時，內函數\(g(x)\)單調遞增，且\(g(x)\in (0,1)\)，此時外函數也單調遞減，故\(f[g(x)]\)單調遞減，
當\(x=1+\sqrt{2}\)時，\(f[g(1+\sqrt{2})]=f(1)=0\)，故當\(x\in (2,1+\sqrt{2}]\)時，\(f[g(x)]\)由 \(+\infty\)減小到 \(0\)，且直線\(x=2\)為漸近線，；
當\(x>1+\sqrt{2}\)時，內函數\(g(x)\)單調遞增，且\(g(x)\in (1,+\infty)\)，此時外函數單調遞減，故\(f[g(x)]\)單調遞減，故當\(x\in (1+\sqrt{2},+\infty)\)時，\(f[g(x)]\)由 \(0\)減小到 \(-\infty\)；
然后利用偶函數，做出\(y\)軸左側部分的圖象，從圖象可以看出，函數 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\) 的零點共有 \(7\) 個.