前言
典例剖析
法1：常规通用的解法，方便快捷不易出错，
根据题意， 函数 \(y=f(x)\) 是定义域为 \(R\) 的奇函数， 则 \(f(0)=0\)，
当 \(x \in(0，+\infty)\) 时是减函数， 且 \(f(1)=0\)， 则函数在 \((0，+\infty)\) 上只有 一个零点，
又由于函数 \(y=f(x)\) 是奇函数且当 \(x \in(0，+\infty)\) 时是减函数， 则 \(f(x)\) 在 \((-\) \(\infty， 0\) )上是减函数，
又由 \(f(1)=0\)， 则 \(f(-1)\)\(=\)\(-f(1)\)\(=\)\(0\)， 则函数在 \((-\infty，0)\)上只有一个零点.
故函数 \(y=f(x)\) 共有\(3\)个零点， 依次为 \(-1\) ， \(0\) ， \(1\).
则对于函数 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\)，
当 \(x^{2}-2|x|=-1\) 时，解得\(x=\pm 1\)原方程等价于\(|x|^2\)\(-\)\(2|x|\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\)，即\((\)\(|x|\)\(-\)\(1\)\()^2\)\(=\)\(0\)，即\(|x|\)\(=\)\(1\)，解得\(x\)\(=\)\(\pm 1\)；；
当 \(x^{2}-2|x|=0\) 时，解得 \(x=\pm 2\) 或 \(x=0\) ；
当 \(x^{2}-2|x|=1\) 时，解得 \(x=1+\sqrt{2}\) 或 \(x=-1-\sqrt{2}\) ；
故函数 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\) 的零点共有 \(7\) 个.
〔解后反思〕对于求解复合函数\(f[g(x)]\)的零点而言，我们一般先求解外函数\(f(u)\)的零点\(u_0\)[注意\(f(u_0)\)\(=\)\(0\)]，然后令\(g(x)\)\(=\)\(u_0\)，通过解方程就可以求得复合函数\(f[g(x)]\)的零点。
法2：学生解法，[他们能想到做出复合函数的图象，找出零点，思路是对的，但作图中出了问题，又找不到错误的地方]
为便于做复合函数的图像，我们分别作出内外两层函数的图象如下图：
能看出来，内函数\(g(x)=x^2-2|x|\)为偶函数，外函数为奇函数，故复合函数\(f[g(x)]\)为偶函数，
复合函数的定义域为\(R\)，我们重点做\([0，+\infty)\)上的图象；
当\(x=0\)时，\(g(0)=0\)，则\(f[g(x)]=f(0)=0\)，故函数图象上有点\((0,0)\)，
当\(0<x<1\)时，内函数\(g(x)\)单调递减，且\(g(x)\in (-1,0)\)，此时外函数也单调递减，故\(f[g(x)]\)单调递增，此时我们作图时将\(y\)轴视为渐近线，
当\(x=1\)时，\(g(1)=0\)，故\(f[g(1)]=f(0)=0\)，故当\(x\in (0,1]\)时，\(f[g(x)]\)由 \(-\infty\)增大到 \(0\)；
当\(1<x<2\)时，内函数\(g(x)\)单调递增，且\(g(x)\in (-1,0)\)，此时外函数也单调递减，故\(f[g(x)]\)单调递减，
当\(x=2\)时，\(g(2)=0\)，则\(f[g(2)]=f(0)=0\)，故当\(x\in [1,2)\)时，\(f[g(x)]\)由 \(0\)减小到\(-\infty\)；故此时我们作图时将直线\(x=2\)视为渐近线，且函数图象上有点\((2,0)\)，
由\(x^2-2|x|=1\)，解得\(x=1+\sqrt{2}\)，当\(2<x<1+\sqrt{2}\)时，内函数\(g(x)\)单调递增，且\(g(x)\in (0,1)\)，此时外函数也单调递减，故\(f[g(x)]\)单调递减，
当\(x=1+\sqrt{2}\)时，\(f[g(1+\sqrt{2})]=f(1)=0\)，故当\(x\in (2,1+\sqrt{2}]\)时，\(f[g(x)]\)由 \(+\infty\)减小到 \(0\)，且直线\(x=2\)为渐近线，；
当\(x>1+\sqrt{2}\)时，内函数\(g(x)\)单调递增，且\(g(x)\in (1,+\infty)\)，此时外函数单调递减，故\(f[g(x)]\)单调递减，故当\(x\in (1+\sqrt{2},+\infty)\)时，\(f[g(x)]\)由 \(0\)减小到 \(-\infty\)；
然后利用偶函数，做出\(y\)轴左侧部分的图象，从图象可以看出，函数 \(y=f\left(x^{2}-2|x|\right)\) 的零点共有 \(7\) 个.