前言
审题是求解数学题目之前，必须过好的一关，审题能力是解题的关键能力之一，本博文结合一个比较复杂的函数例子，说明该如何审题，如何组织解答过程，以期对学生的思维有所启迪。
例说审题
〔审题分析〕由于 \(g(x)=a x^{2}-x\)， 则函数 \(y=f[g(x)]=\log _{a}\left(a x^{2}-x\right)\)，则到此，我们知道题目给定了复合函数\(f[g(x)]\)，内函数为\(g(x)\)，外函数为\(f(x)\)，题目要求复合函数在区间\([2,4]\)上是增函数，则我们需要考虑以下的因素：
①确定外函数的单调性，外函数是对数函数，底数不确定，故到时候需要针对底数分类讨论(只能分类为\(0<a<1\)和\(a>1\)两种)，因为只有针对底数分类讨论才能说清楚外层的单调性；
②确定内函数的单调性，对于内层函数而言是二次函数，图象为开口向上的抛物线，要确定其单调性，需要针对对称轴\(x=\cfrac{1}{2a}\)和给定区间\([2,4]\)的位置关系分类，如果要内函数在\([2,4]\)上单调递增，需要对称轴在\(2\)的左侧或\(2\)处，此时用表达式\(\cfrac{1}{2a}\leqslant 2\)来刻画；如果要内函数在\([2,4]\)上单调递减，需要对称轴在\(4\)的右侧或\(4\)处，此时用表达式\(\cfrac{1}{2a}\geqslant 4\)来刻画；
③确保内函数在区间\([2,4]\)上都有意义，即确定内函数的定义域为\([2,4]\)(这一点容易遗忘)，需要对\(\forall x\in [2,4]\)，\(ax^2-x>0\)必须恒成立，但是我们不是把所有\(x\)都代入验证，由于是恒成立问题，当内函数在区间\([2,4]\)上单调递减时，只需要其最小值\(g(4)>0\)即可；当内函数在区间\([2,4]\)上单调递增时，只需要其最小值\(g(2)>0\)即可，
当考虑清楚了以上的各种因素，我们就可以借助上述的分析框架，书写解答过程了。
〔解答〕： 由于 \(g(x)=a x^{2}-x\)， 则函数 \(y=f[g(x)]=\log _{a}\left(a x^{2}-x\right)\).
由函数 \(g(x)=a x^{2}-x\) 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 \(x=\cfrac{1}{2 a}\)，
① 当 \(0<a<1\)时（外函数是单调递减的），要使得复合函数 \(f[g(x)]\) 在区间 \([2，4]\) 上单调递增，
则\(g(x)=ax^2-x\)在\([2,4]\)上单调递减，且\(g(x)_{\min}>0\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{2 a} \geq 4\\ g(4)=16a-4>0\end{array}\right.\)，
解得， \(a\in \varnothing\)，
② 当 \(a>1\)时，要使得复合函数 \(f[g(x)]\) 在区间 \([2，4]\) 上单调递增，
则\(g(x)=ax^2-x\)在\([2,4]\)上单调递增，且\(g(x)_{\min}>0\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{2a} \leq 2\\ g(2)=4a-2>0\end{array}\right.\)，
解得\(a>\cfrac{1}{2}\)，又由于\(a>1\)，故\(a>1\)，
综上， 满足题意的实数 \(a\) 的取值范围是 \((1，+\infty)\).