函數性質的綜合應用習題

前言

函數性質的綜合應用，是模考和高考中常見的題型。要想順利解決這類題目，需要我們清楚函數的各種性質的常見給出方式，理解其組合方式和常用的思維模式，現舉例說明如下：

作用

求函數的解析式，比較函數大小，解抽象函數不等式和具體函數不等式；

常用性質

• 周期性

典型的范式如\(f(x+2)=f(x)\)，則\(T=2\)；

其等價變形如\(f(x+1)=f(x-1)\)，則\(T=2\)；

其他表現形式如\(f(x+2)=-f(x)\)，則\(T=2\times2=4\)等，

• 奇偶性

典型的范式如\(f(-x)=-f(x)\)，等價變形如\(f(-x)+f(x)=0\)；

則函數為奇函數，關於點\((0，0)\)對稱；

典型的范式由\(f(-x)=f(x)\)，等價變形如\(f(-x)-f(x)=0\)；

則函數為偶函數，關於直線\(x=0\)對稱；

• 對稱性

典型的范式如由\(f(2-x)+f(x)=2\)，注意等價變形\(f(2-x)=2-f(x)\)；

則可知函數關於點\((1，1)\)對稱；

對稱中心\((x_0，y_0)\)的求法如下：

\(x_0=\cfrac{(2-x)+x}{2}=1\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1\)；

典型的范式如由\(f(4-x)=f(x)\)，注意等價變形\(f(4-x)-f(x)=0\)；

則可知函數關於直線\(x=2\)對稱，

其中對稱軸\(x=x_0\)的求法如下：\(x_0=\cfrac{(4-x)+x}{2}=2\)；

• 廓清認知，區分三種容易混淆的性質

【周期性】兩個自變量的整體相加不能消掉\(x\)的就表現為周期性；

如由\(f(x+2)=f(x)\)，則\(T=2\)，如由\(f(x+2)=-f(x)\)，則\(T=4\)，

【對稱性】兩個自變量的整體相加能消掉\(x\)的就表現為對稱性；why ^[1]

如由\(f(-x)+f(x)=0\)，對稱中心為\((0，0)\)，即奇函數；特殊的對稱性。

如由\(f(4-x)+f(x)=2\)，對稱中心為\((2，1)\)，即一般的對稱性，中心對稱；

如由\(f(-x)-f(x)=0\)，對稱軸為\(x=0\)，即偶函數，特殊的對稱性；

如由\(f(2-x)-f(x)=0\)，對稱軸為\(x=1\)，即一般的對稱性，軸對稱；

思維盲點

函數的奇偶性、對稱性、周期性三個性質，只要知道其中兩個，就能推導出第三個，而第三個常常在解題中是必不可少的，故需要我們打通思維中的盲點，熟練掌握以下的變形和數學思想方法：

• 對稱性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的變形例子

如，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，

則由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

• 奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)對稱性的變形例子
  

如，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(x+4)=-f(x)\)，

則由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)對稱軸是\(x=2\)

• 對稱性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的變形例子
  

如，已知函數\(f(x)\)的周期是2，且滿足\(f(2+x)=f(-x)\)，

則由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函數\(f(x)\)是偶函數。

知識點 【函數性質綜合應用中的難點】注意對比兩個例子中的單調性和圖像，比如

①已知定義在\(R\)上的奇函數\(f(x)\)，在\((0，+\infty)\)上單調遞增，則函數圖像可能是①，而不可能是②；

②已知定義在\(R\)上的奇函數\(f(x)\)，在\([0，+\infty)\)上單調遞增，則函數圖像可能是②，而不可能是①；

• 注意，還需要加強的是數學應用意識；即由文字語言到數學符號語言；

比如知道對稱軸\(x=1\)，我們應該能順利寫出\(f(x+2)=f(-x)\)，或\(f(-x+2)=f(x)\)，或\(f(1+x)=f(1-x)\)，其實這幾種表達形式的實質都是相同的，具體選用哪一個看我們的題目需要；

再比如，知道函數的對稱中心\((1，1)\)，你就應該能寫出\(f(2-x)+f(x)=2\)，或\(f(1-x)+f(1+x)=2\)等等；

典例剖析

例1 【2017年寶雞市二檢】【函數性質逐條給出】已知定義在\(R\)上的函數\(y=f(x)\)滿足以下條件：

①對任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；

②函數\(y=f(x+2)\)是偶函數；

③當\(x\in(0，2]\)時，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，

若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本題目是函數各種性質綜合應用的典型題目，如果你對函數的各種性質的給出方式很熟悉，

那么由①可知，函數滿足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；

由②可知\(y=f(x)\)的對稱軸是\(x=2\)，可以表達為\(f(x+4)=f(-x)\)，

那么在結合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，則函數\(f(x)\)還是偶函數；

由③借助導數工具(或者增+增=增)可得，函數\(f(x)\)在區間\((0，2]\)上單調遞增，

有了以上分析得到的函數的周期性、奇偶性、單調性，就可以輕松的解決題目中的大小比較了。

\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；

\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；

\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表達式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函數}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；

由\(\because f(x)\)在區間\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，

即\(a<b<c\)，故選\(D\)。

例2 【2019屆寶雞理數質檢Ⅲ第10題】定義在\(R\)上的函數\(y=f(x)\)滿足以下三個條件：

①對於任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+1)=f(x-1)\)；

②函數\(y=f(x+1)\)的圖像關於\(y\)軸對稱；

③對於任意的\(x_1，x_2\in [0，1]\)，都有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)；

則\(f(\cfrac{3}{2})\)、\(f(2)\)、\(f(3)\)的大小關系是【】

$A.f(\cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$

$B.f(3)>f(2)>f(\cfrac{3}{2})$

$C.f(\cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$

$D.f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)$

分析：本題目考查函數的各種性質的綜合運用，其中主要涉及的是函數的奇偶性、周期性、對稱性、單調性；

由①可知，函數的周期為\(T=2\)，故可以簡化其中的兩項，\(f(2)=f(0)\)，\(f(3)=f(1)\)；

由②，通過圖像的平移，可知函數\(y=f(x)\)的對稱軸為直線\(x=1\)，即函數滿足條件\(f(x)=f(2-x)\)，再賦值得到，\(f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})\)；

由③可知函數\(f(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞增，由於\(1>\cfrac{1}{2}>0\)，故\(f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)\)，即滿足\(f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)\)，故選\(D\)。

例3 【2018高考真題全國卷二卷文科第12題】已知函數\(f(x)\)是定義在\((-\infty，+\infty)\)上的奇函數，滿足\(f(1-x)=f(1+x)\)，若\(f(1)=2\)，則\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=\)【\(\hspace{2em}\)】。

$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$

分析：先將奇函數性質改寫為，\(f(x)=-f(-x)①\)；

再將對稱性\(f(1-x)=f(1+x)\)改寫為\(f(2-x)=f(x)②\)，

由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，

這樣\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下來就是重點求這些函數值；

由於函數是定義在\(R\)上的奇函數，故\(f(0)=0\)，則\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，

令\(x=0\)，則由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，

\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，

即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\)

\(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)

\(=f(1)+f(2)=2\)，故選C

備注：本題目實際上考查的是正弦函數模型。

例4 【函數性質涵蓋在解析式中】【2017\(\cdot\)榆林模擬】函數\(f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}+\sin{x}\)，則不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：這類題目往往需要取得符號\(f\)，而在此之前，需要轉化為\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定義域和單調性去掉對應法則符號，就轉化為了一般的不等式組了。

解析：先求定義域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定義域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，\(f(-x)=\ln\cfrac{1-x}{1+x}-\sin x\)，\(f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}+\sin x\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函數為奇函數；

最后分析單調性，

法一，基本函數法，令\(g(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}=\ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由於\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)為增函數，

所以函數\(g(x)\)為增函數，故函數\(f(x)=g(x)+\sin x\)為\((-1，1)\)上的增函數，

法二，導數法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+\cos x>0\)，故函數\(f(x)\)為\((-1，1)\)上的增函數，到此需要的性質基本備齊了，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，變換得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，由定義域和單調性得到以下不等式組：

\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故選\(A\)。

例5 【抽象函數】【函數性質的綜合應用】已知函數\(f(x)\)的定義域為\(|x|\leq 1\)的補集，且在定義域上恆有\(f(-x)-f(x)=0\)，若\(f(x)\)在\((1，+\infty)\)上恆有\(f'(x)>0\)成立，\(f(x)-f(2x-1)<0\)，求實數\(x\)的取值范圍。

分析：上述題目就是個抽象函數，其中定義域為\(|x|>1\)，且為偶函數，且在\((1，+\infty)\)上單調遞增，

故由\(f(x)-f(2x-1)<0\)，等價轉化為\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，

接下來由定義域和單調性二者限制得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)

上式等價於\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；

解②，兩邊同時平方，去掉絕對值符號，得到\(x<-\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，

即實數\(x\)的取值范圍是\((-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)。

例6 【抽象函數】【函數性質的綜合應用】已知函數\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞減，且對任意實數\(m，n\)都滿足\(f(m)+f(n-m)=f(n)\)，若\(f(1)=-1\)，則滿足\(-1\leq f(x-1)\leq 1\)的\(x\)的取值范圍是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：先用賦值法確定函數的奇偶性，

令\(m=n=0\)，得到\(f(0)+f(0-0)=f(0)\)，則\(f(0)=0\)，

再令\(n=0\)，得到\(f(m)+f(-m)=f(0)=0\)，即\(f(-m)=-f(m)\)，

即函數\(f(x)\)為奇函數，故由\(f(1)=-1\)，得到\(f(-1)=1\)，

這樣原不等式\(-1\leq f(x-1)\leq 1\)可變形為\(f(1)\leq f(x-1)\leq f(-1)\)，

又由於函數\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞減，

則去掉對應法則的符號得到，\(-1\leq x-1\leq 1\)，

解得\(0\leq x\leq 2\)，故選\(C\)。

例7 【2017天津高考】【函數性質的綜合應用】已知奇函數\(f(x)\)在\(R\)上是增函數，\(g(x)＝x\cdot f(x)\)．若\(a＝g(-log_25.1)\)，\(b＝g(2^{0.8})\)，\(c＝g(3)\)，則 \(a，b，c\)的大小關系為【 】

$A.a＜b＜c$ $B.c＜b＜a$ $C.b＜a＜c$ $D.b＜c＜a$

分析：由函數的組成部分來推到整體函數的性質，

由於\(y=x\)是奇函數，\(y=f(x)\)是奇函數，故\(g(x)=x\cdot f(x)\)是偶函數；

又由於奇函數\(f(x)\)在\(R\)上是增函數，

故\(f(0)=0\)，且\(x>0\)時，必有\(f(x)>0\)，且\(f(x)\)單調遞增，

再者\(x>0\)時，\(y=x>0\)且單調遞增，

故\(g(x)=x\cdot f(x)\)經過\((0，0)\)，且當\(x\in[0，+\infty)\)時，\(g(x)\)單調遞增，

接下來利用函數\(g(x)\)的單調性比較大小。

\(a=g(-log_25.1)=g(log_25.1)\)，\(b＝g(2^{0.8})\)，\(c＝g(3)\)，

\(2<log_25.1<3\)，\(1<2^{0.8}<2\)，

故\(g(3)>g(log_25.1)>g(2^{0.8})\)，即\(c>a>b\)，故選\(C\)。

【解后反思】：本題目的難點其一是要能想到利用組成部分的性質推導整體函數的性質。

其二利用函數\(f(x)\)的奇偶性、單調性和定義域來推導\(x>0\)時，\(f(x)>0\)這一性質，以便於下一步應用。

例8 【2019高三理科數學第二次月考第9題】【函數性質的綜合應用】函數\(f(x)=\ln(|x|-1)\)\(-log_{0.5}(x^2+1)\)，則使得不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)成立的\(x\)的取值范圍是【】

$A.(1，+\infty)$ $B.(-\infty，-\cfrac{1}{3})$ $C.(-\infty，-\cfrac{1}{3})\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$

分析：由\(|x|-1>0\)得到定義域\((-\infty，-1)\cup (1，+\infty)\)；

由於\(y=\ln(|x|-1)\)為偶函數，\(y=-log_{0.5}(x^2+1)\)為偶函數，【兩個組成部分】所以\(f(x)\)為偶函數；【整體】

以下主要討論單調性，先考慮\(x>1\)的情形，

由於\(x>1\)時\(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，

其中\(y=\ln(x-1)\)在區間\((1，+\infty)\)上單調遞增，\(y=log_{0.5}(x^2+1)\)在區間\((1，+\infty)\)上單調遞減，

故\(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)區間\((1，+\infty)\)上單調遞增，

又由於其為偶函數，這樣可知\((-\infty，-1)\)上單調遞減，

由不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)等價於\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，其在區間\((1，+\infty)\)上單調遞增，

由定義域和單調性二者限制得到，\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)

上式等價於\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；

解②，兩邊同時平方，去掉絕對值符號，得到\(x<-\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，故選\(D\)。

例9 設函數\(f(x)\)在\(R\)上存在導數\(f'(x)\)，\(\forall x\in R\)，都有\(f(-x)+f(x)=x^2\)，在\((0，+\infty)\)上\(f'(x)<x\)，若\(f(4-m)-f(m)\ge 8-4m\)，則實數\(m\)的取值范圍是多少？

分析：本題中的題眼是在\((0，+\infty)\)上\(f'(x)<x\)，這句話是構造函數的關鍵所在。

解析：由題目“在\((0，+\infty)\)上\(f'(x)<x\)”，構造函數\(g(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x^2\)，

則在\((0，+\infty)\)上\(g'(x)=f'(x)-x<0\)，\(g(x)\)單調遞減，

又由於\(f(-x)+f(x)=x^2\)，改寫為\(f(-x)-\cfrac{1}{2}(-x)^2+f(x)-\cfrac{1}{2}(x)^2=0\)，

即就是\(g(-x)+g(x)=0\)，即函數\(g(x)\)為定義在\(R\)上的奇函數，

則\((-\infty，0)\)上單調遞減，所以函數\(g(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞減。

又由於\(f(4-m)-f(m)\ge 8-4m\)，等價於\(f(4-m)-\cfrac{1}{2}(4-m)^2 \ge f(m)-\cfrac{1}{2}m^2\)，

也等價於\(g(4-m)\ge g(m)\)，所以\(4-m\leq m\)，解得\(m \ge 2\)，

即\(m\in [2，\infty)\).

例10 【2016\(\cdot\)四川高考】已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的周期為2的奇函數，當\(0<x<1\)時，\(f(x)=4^x\)，則\(f(-\cfrac{5}{2})+f(1)\)的值是多少？

分析：本題目容易求出\(f(-\cfrac{5}{2})=f(-0.5)=-f(0.5)=-2\)，難點是求\(f(1)\)的值；

由已知可知函數滿足\(f(x+2)=f(x)，f(x)=-f(-x)\)，聯立可得到\(f(x+2)=-f(-x)\)，

再賦值\(x=-1\)可得，\(f(-1+2)=-f(1)\)，即\(2f(1)=0\)，所以\(f(1)=0\)。則\(f(-\cfrac{5}{2})+f(1)=-2\)。

例11 已知\(a，b\)為正實數，函數\(f(x)=ax^3+bx+2^x\)在\([0，1]\)上的最大值為\(4\)，則函數\(f(x)\)在\([－1，0]\)上的最小值為【】

$A.-\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{3}{2}$ $C.-2$ $D.2$

分析：由\(a，b\)為正實數，函數\(y=ax^3\)和\(y=bx\)及\(y=2^x\)都在\([-1，1]\)上單調遞增，

故\(f(x)=ax^3+bx+2^x\)在\([-1，1]\)上單調遞增，

則\(f(x)_{max}=f(1)=4\)，\(f(x)_{min}=f(-1)=?\)；

又\(f(x)-2^x=ax^3+bx=g(x)\)，則新定義的函數\(g(x)\)為奇函數，故滿足\(g(-1)+g(1)=0\)，

又\(f(1)-2=g(1)\)，\(f(-1)-2^{-1}=g(-1)\)，故有\(f(1)-2+f(-1)-\cfrac{1}{2}=0\)，從而求得\(f(-1)=-\cfrac{3}{2}=f(x)_{min}\)。

例12 【2017天津一中月考】已知定義在\(R\)上的奇函數\(f(x)\)滿足\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)，且當\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)時，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，則\(f(2015)\)=【】

$A.-1$ $B.-2$ $C.1$ $D.2$

資料解法：由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函數\(f(-x)=-f(x)\)，

可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ; 周期性

\(f(2015)=f(3\times 672-1)=f(-1)=-f(1)\)，

又由\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)時，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，

可得\(f(2015)=-f(1)=-2\)。故選\(B\);

解后反思：這個題目其實是有問題的，理由如下：

由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)和奇函數\(f(-x)=-f(x)\)，

可得到\(f(\cfrac{3}{2}+x)=-f(x)\)，即\(T=3\) ;

則\(f(2015)=f(3\times 671+2)=f(2)\)，

由\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)可得，

\(f(2)=f(\cfrac{3}{2}+\cfrac{1}{2})=f(-\cfrac{1}{2})=-f(\cfrac{1}{2})\)

\(=-log_2(3\times \cfrac{1}{2}+1)=-log_2\cfrac{5}{2}\neq -2\)，故沒有選項可供選擇。

那么哪一個解法對呢？其實本身是這個題目有問題。分析如下：

\(f(-x)=f(\cfrac{3}{2}+x)\)，說的是函數的對稱性，其對稱軸是直線\(x=\cfrac{3}{4}\)，

又給定函數滿足\(0<x\leq \cfrac{3}{2}\)時，\(f(x)=log_2(3x+1)\)，

可以看出來在\((0，\cfrac{3}{2}]\)上單調遞增，

這樣的兩條性質是不可能同時成立的。

例13 【2019屆高三理科函數的奇偶性周期性課時作業第13題】設定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)同時滿足以下條件：

①\(f(x)+f(-x)=0\)；②\(f(x)=f(x+2)\)；③當\(0\leq x<1\)時，\(f(x)=2^x-1\)，

則\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})\)的值是_________。

分析：由①知，函數為奇函數，在利用③先做出\([0，1)\)上的圖像，

再利用奇函數，做出\((-1，0]\)上的圖像，一個周期基本完成，就差端點值\(f(-1)\)和\(f(1)\)的值未確定；

難點是求\(f(1)\)的值，可以通過以下幾個思路求解，

法1：圖像法，假設\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，則\(f(-1)=-\cfrac{1}{2}\)，奇偶性是說的通的，

但是周期性不滿足，因為向右平移一個周期后，元素\(1\)對應\(\cfrac{1}{2}\)，還對應\(-\cfrac{1}{2}\)，

出現了一對多，不是函數了，故只能有\(f(1)=0\)，即也有\(f(-1)=0\)，

這樣在一個周期上奇偶性和周期性都是滿足的。

法2：題中沒有明確告訴，但是由①②可知，

\(f(x+2)=-f(-x)\)，即\(f(x+2)+f(-x)=0\)，即對稱中心是\((1，0)\)，

這時要么函數在\((1，0)\)處沒有定義，這個不滿足題意；

要么必有\(f(1)=0\)，則\(f(-1)=0\)；其余就好處理了。

法3：賦值法，由\(f(x)+f(-x)=0\)，令\(x=1\)，得到\(f(1)+f(-1)=0\)①，

令\(x=-1\)，由\(f(x)=f(x+2)\)得到，\(f(-1)=f(1)\)②，

故有\(f(1)=f(-1)=0\)，

在此基礎上，做出函數的大致圖像，可知\(f(1)=f(2)=f(0)=0\)，

\(f(\cfrac{3}{2})+f(\cfrac{5}{2})=0\)，\(f(\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}-1\)，

故\(f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})=\sqrt{2}-1\)。

例14 【2019高三理科數學第二次月考跟蹤訓練第10題】【2018漢中模擬】已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)，記\(a=25f(0.2^2)\)，\(b=f(1)\)，\(c=-log_53\times f(log_{\frac{1}{3}}5)\)，則【】

$A.c＜b＜a$ $B.b＜a＜c$ $C.c＜a＜b$ $D.a＜b＜c$

分析：構造函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，則\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}<0\)，

故\(x>0\)時，函數\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上單調遞減，

又函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)為偶函數(奇/奇)，故\(g(-x)=g(x)\)，

\(a=25f(0.2^2)=\cfrac{f(0.04)}{0.04}=g(0.04)\)，\(b=f(1)=\cfrac{f(1)}{1}=g(1)\)；

\(c=-log_53\times f(log_{\frac{1}{3}}5)=-\cfrac{1}{log_35}\times f(-log_35)=\cfrac{f(-log_35)}{-log_35}=g(-log_35)=g(log_35)\)，

由於\(0.04<1<log_35\)，函數\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上單調遞減，

故\(g(0.04)>g(1)>g(log_35)\)，即\(a>b>c\)，故選\(A\)。

例15 【2019寶中高三文科數學第二次月考跟蹤訓練第10題】定義域為\(R\)的偶函數\(f(x)\)是周期為\(2\)的周期函數，且在區間\([0，1]\)上\(f(x)=e^x\)，則\(f(\ln\cfrac{1}{19})\)(\(e^2\approx 7.4\)，\(e^3\approx 20.1\))=【】

$A.\cfrac{19}{e^2}$ $B.\cfrac{19}{2}$ $C.e^{19}$ $D.19$

分析：令\(\ln19=t\)，則\(e^t=19\)，即\(e^2<e^t<e^3\)，

故\(2<t<3\)，即\(\ln19\in (2，3)\)；則\(\ln19-2\in (0，1)\)；

故\(f(\ln\cfrac{1}{19})=f(-\ln19)=f(\ln19)=f(\ln19-2)\)

\(=e^{\ln19-2}=e^{\ln19}\cdot e^{-2}=\cfrac{19}{e^2}\)，故選A。

例16 【2019鳳翔中學理科數學二輪資料用題】已知定義在\(R\)上的偶函數\(f(x)\)(其中\(f'(x)\)為其導函數)，滿足\(f(x-\cfrac{1}{2})+f(x+1)=0\)，\(e^3\cdot f(2018)=1\)，若\(f(x)>f'(-x)\)，則關於\(x\)的不等式\(f(x+2)>\cfrac{1}{e^x}\)的解集為【】

$A(-\infty，3)$ $B(3，+\infty)$ $C(-\infty，0)$ $D(0，+\infty)$

分析：由\(f(x-\cfrac{1}{2})+f(x+1)=0\)可知，\(T=3\)，故可以將\(e^3\cdot f(2018)=1\)轉化為\(e^3\cdot f(2)=1\)，

又由於偶函數的導函數為奇函數，則可將\(f(x)>f'(-x)\)轉化為\(f(x)+f'(x)>0\)，

故定義\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，則\(g'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]>0\)，故函數\(g(x)\)在\(R\)上單調遞增，

又\(f(x+2)>\cfrac{1}{e^x}\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>1\)，即\(e^x\cdot f(x+2)>e^3\cdot f(2)\)，即\(e^{x-1}\cdot f(x+2)>e^2\cdot f(2)\)，

即\(e^{x-1}\cdot f(x-1)>e^2\cdot f(2)\)，即\(g(x-1)>g(2)\)，由於函數\(g(x)\)在\(R\)上單調遞增，

故可得，\(x-1>2\)，解得\(x>3\)，故選\(B\)。

例17 【2019鳳翔中學理科數學二輪資料限時訓練5第14題】已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(x-4)=-f(x)\)，且當\(-1\leq x\leq 1\)時，\(f(x)=-2^{-x+1}\)，則\(f(2019)\)=_______。

分析：由\(f(x-4)=-f(x)\)，得到\(T=8\)，則\(f(2019)=f(3)\)；又在\(f(x-4)=-f(x)\)中，令\(x=3\)，則\(f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=-(-2^{-(-1)+1})=4\)，故\(f(2019)=4\)。

例18 【2017屆理科數學試題】已知定義在\(R\)上的偶函數滿足：\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，且當\(x\in [0,2]\)時，\(y=f(x)\)單調遞減，給出以下四個命題：

①\(f(2)=0\)；

②\(x=-4\)為函數\(y=f(x)\)圖像的一條對稱軸；

③函數\(y=f(x)\)在區間\([8,10]\)上單調遞增；

④若方程\(f(x)=m\)在區間\([-6,-2]\)上的兩根為\(x_1\)，\(x_2\)，則\(x_1+x_2=-8\)；

以上命題中所有正確命題的序號為______________。

分析：由於函數\(f(x)\)為偶函數，且\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，

令\(x=-2\)，則\(f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)\)，則\(f(-2)=0\)，即\(f(2)=0\)，故①正確，

這樣由\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，得到\(f(x+4)=f(x)\)，即周期\(T=4\)，

結合\(x\in [0,2]\)時，\(y=f(x)\)單調遞減，我們可以做出適合題意的下圖，

由圖就能很容易得到②正確，而③錯誤，由②能很容易得到④也是正確的。

綜上所述，正確的代號有①②④。

另解：用數的方法推導，如函數為偶函數，則\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(x-8)=f(x)\)，

則得到\(f(-x)=f(x-8)\)，則得到其對稱軸為\(x=-4\)，其實我們還可以得到更多的對稱軸。

又由於\(x\in [0,2]\)時，\(y=f(x)\)單調遞減，則\(x\in [8,10]\)時，\(y=f(x)\)單調遞減，故③錯誤；

又由於函數在\([-6，-2]\)上是關於\(x=-4\)對稱的，故方程\(f(x)=m\)在區間\([-6,-2]\)上的兩根為\(x_1\)，\(x_2\)也是關於\(x=-4\)對稱，

故\(\cfrac{x_1+x_2}{2}=-4\)，故\(x_1+x_2=-8\)，故④正確。

綜上所述，正確的代號有①②④。

例1 [熟悉函數各種性質的各種研究方法]已知函數\(f(x)=x^2-2x\cos x\)，則下列關於\(f(x)\)表述正確的是【】

$A.函數f(x)的圖像關於y軸對稱$

$B.\exists x_0\in R，f(x)_{min}=-1$

$C.函數f(x)有4個零點$

$D.函數f(x)有無數個極值點$

分析：對於選項\(A\)，考查函數的奇偶性判斷；

利用定義求解如下：由於\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)\cos(-x)=x^2+2x\cos x\)，則\(f(-x)\neq \pm f(x)\)，故是非奇非偶函數；

利用奇偶性的推論求解如下：函數\(y=x^2\)為偶函數，\(y=-2x\cdot\cos x\)為奇函數，故\(f(x)\)是非奇非偶函數，故\(A\)錯誤；

對於選項\(B\)，考查函數的最值的求解方法；

利用變形轉化求解如下：由於\(x^2+1=2x\cos x\)有解，則\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)有解，

\(x+\cfrac{1}{x}\geqslant 2\)，當且僅當\(x=1\)時取到等號；但此時\(2\cos x=2\cos1<2\)，

故左右不相等，即方程\(x+\cfrac{1}{x}=2\cos x\)無解，故\(B\)錯誤；

利用圖像法求解如下：\(x^2-2x\cos x\geqslant -1\)有解，即\(y=x^2+1\)與函數\(y=2x\cos x\)圖像有交點，

手動作圖，大致能分析出兩個函數圖像無交點，故\(B\)錯誤[下下之選]；

對於選項\(C\)，考查函數的零點的求解方法[注意各種方法在一個題目中的組合使用]；\(f(x)=x(x-2cosx)\)；

則由解方程法[方法1]得到一個零點\(x=0\)，接下來求\(g(x)=x-2\cos x\)的零點個數，采用圖像法[方法2]，

做出圖像可知，此時只有一個交點，即函數\(g(x)\)有一個零點，故共有\(2\)個零點，故\(C\)錯誤；

對於選項\(D\)，考查函數的極值點的求解；

由題可知\(f'(x)=0\)有無數個穿根零點[朝三角變換上想，注意不是相切零點]，

則\(2x-2\cos x+2x\sin x=0\)有無窮多個解，即\(x(1+\sin x)=\cos x\)，

也即\(x=\cfrac{\cos x}{1+\sin x}\)，而右端\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)，

關於\(\cfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)變形過程，有空整理；

而函數\(y=x\)和函數\(y=\tan(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{x}{2})\)圖像有無窮多個交點[非相切]，故選\(D\)；

補充思路，當\(\sin x=-1\)時，剛好\(\cos x=0\)，故\(x(1+\sin x)=\cos x\)成立，有無窮多個解；

解后反思：相切零點的例子，比如\(y=1\)和\(y=\cos x\)的圖像，所以對於函數\(g(x)=x-\sin x\)而言，

雖說導函數\(g'(x)=1-\cos x\)有無窮多個零點[都是相切零點，不是穿根零點]，但沒有一個能成為極值點的。

上例，說明對稱+對稱推出周期

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1. 由於周期性體現的是函數圖像的左右平移，其實質是用\(x+\phi\)替換\(x\)，故自變量前面的符號是相同的；而對稱性體現的是圖像的對稱，其橫坐標必然會針對對稱軸向左右平移相同的\(|x|\)個單位，故其自變量前面的符號是相反的； ↩︎