對數函數

寫在前面：

　　高考復習筆記

 

 

目錄

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• 定義

• 歷史

• 性質

定義

　　對數函數是以冪（真數）為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數。

 

歷史 

　　“log”是拉丁文logarithm的縮寫。

　　16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的天文數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。德國的M.Stifel在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列。欲求左邊任兩數的積（商），只要先求出其代表（指數）的和（差），然后再把這個和（差）對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積（商），可惜Stifel並未作進一步探索，沒有引入對數的概念。

　　在John Napier所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。

　　Napier也是當時的一位天文愛好者，他所制造的「Napier算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯系。在他的1619年發表《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，后人稱為Napier對數，記為Nap．㏒x，它與自然對數的關系為：Nap．㏒x=10㏑(107/x)。

　　由此可知，Napier對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。瑞士的Burgi也獨立地發現了對數，可能比Napier較早，但發表較遲（1620）。英國的Briggs在1624年創造了常用對數。1619年，倫敦John Speidell所著的《新對數表》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。

　　對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，簡化了行星軌道運算問題。

 

性質

• 定義域

　　真數>0

• 值域

　　實數集R，顯然對數函數無界。

• 單調性

　　底數>1時，在定義域上為單調增函數；

　　0<底數<1時，在定義域上為單調減函數。

• 奇偶性

　　非奇非偶函數。

• 周期性

　　無。

• 對稱性

　　無。

• 最值

　　無。

• 零點

　　x=1。

• 基本性質

　　①a^log_a(b) = b
　　②log_a(a^b) = b
　　③log_a(M*N) = log_a(M)+log_a(N)
　　④log_a(M/N) = log_a(M)-log_a(N)
　　⑤log_a(Mⁿ) = n*log_a(M)
　　⑥log_aⁿ(M) = (1/n)*log_a(M)

• 其他性質

　　對數函數的函數圖像恆過定點(1,0)。

　　“底大圖低”：

　　　　兩個對數函數的真數相同時，無論底數在(0,1)還是(1,+∞)，底數大的那個假數距離x軸近。

 　　“同正異負”：

　　　　真數和底數都在(0,1)或都在(1,+∞)時，假數為正。

　　　　真數在(0,1)而底數在(1,+∞)，或者真數在(1,+∞)而底數在(0,1)時，假數為負。

• 反函數

　　　　指數函數。

圖示中函數：2^x和log₂(x)