Schwarz inequality（施瓦茨不等式）一個簡潔證明的思路分析

上圖是 Walter Rudin 所著的《數學分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）里對施瓦茨不等式的一個簡潔證明。因為跨頁沒有拍全，后頁還有如下三行：

        Since each term in the first sum  is nonnegative, we see that

                                     B(AB - |C|²) ≥ 0.

        Since B > 0, it follows that AB - |C|² ≥ 0. This is the desired inequality.

這個證法簡潔而巧妙，可這個思路是怎么來的呢？從正向看，很難解釋怎么會想到構建 |Ba_j - Cb_j|²。從反向來看一下：

顯然，所要證明的結論等價於

       AB - |C|² ≥ 0          ①

A 和 B 形式一致，即都是 n 個實數的平方之和，因此 AB 展開會得到 n² 個 |a_i|·|b_j|（即 |a_ib_j|）形式的實數的平方之和。C 是 n 個a_j·b_j^¬（由於編輯器的限制，打不出上划線，這里用 b^¬ 表示復數 b 的共軛復數）形式的復數之和，|C|² = C·C^¬，對 C·C^¬ 做進一步的展開處理可能也是一個思路，但是會相當繁瑣。 初步判斷，試圖通過展開的方式去證明 ① 應該是比較困難的。

由 ①，兩邊同乘 B 有，B(AB - |C|²) ≥ 0，即

       B²A - B|C|² ≥ 0       ②

在 ② 中，把 B² 看成一個整體，則

       B²A = B²(|a₁|² + ... + |a_n|²)  = (B·|a₁|)² + ... + (B·|a_n|)²

即 B²A 可以展開成 n 個 B·|a_j| 形式的實數的平方之和。

同樣，把 |C|² 看成一個整體，B|C|² 可以展開成 n 個 |C|·|b_j| 形式的實數的平方之和，即

       B|C|² = (|C|·|b₁|)² + ... + (|C|·|b_n|)²

這樣 ② 的左端可以展開成 n 個 (B·|a_j|)² - (|C|·|b_j|)² 形式的平方差之和，但要證明這樣的每個平方差都不小於 0 應該是不可行的。

對 ② 的左端繼續做以下處理：

     B²A - B|C|² = B²A - B|C|² - B|C|² + B|C|² = 

     B²A - BC·C^¬ - B·C^¬·C + |C|²·B  ≥ 0       ③

③ 中，B²A、-BC·C^¬、-BC^¬·C、|C|²·B 分別可展開為：

      B²A = B²·a₁a₁^¬   + ... +  B²·a_na_n^¬

-BC·C^¬ = -BC·a₁^¬b₁  - ...  - BC·a_n^¬b_n

-BC^¬·C = -BC^¬·a₁b₁^¬ - ... - BC^¬·a_nb_n^¬

 |C|²·B  = CC^¬·b₁b₁^¬  + ... + CC^¬·b_nb_n^¬

從縱向看，有

B²·a_ja_j^¬ - BC·a_j^¬b_j - BC^¬·a_jb_j^¬ + CC^¬·b_jb_j^¬ = (B·a_j - C·b_j)(B·a_j^¬ - C^¬·b_j^¬)

=  (B·a_j - C·b_j)·(B·a_j - C·b_j)^¬ = |B·a_j - C·b_j|² 

於是有

B²A - B|C|² = Σ|B·a_j - C·b_j|²

至此，這個證明思路才算理清楚了。

上面的施瓦茲不等式中，左端的 b_j^¬ 可以換成 b_j，即 C = Σa_jb_j，依然會有 |C|² ≤ AB 成立。這是因為 |b_j^¬| = |b_j|，繼而有 Σ|b_j^¬|² = Σ|b_j|² = B.

來看一下這個不等式在實數范疇的形式：

a₁, a₂, ..., a_n 和 b₁, b₂, ..., b_n 為兩組實數，則有 (Σa_jb_j)² ≤ Σa_j²·Σb_j²，該結論還可以強化為

(Σ|a_jb_j|)² ≤ Σa_j²·Σb_j²      ④

以下嘗試用上面的證明思路來證明 ④。不妨假設 a_j，b_j 均為非負實數，記 A = Σa_j²，B = Σb_j²，C = Σa_jb_j，於是 ④ 等價於 AB - C² ≥ 0

當 A = 0 時，有 a_j = 0，④ 顯然成立。考慮 A > 0，則 ④ 等價於 A²B - AC² ≥ 0.

A²B - AC² = A²B - 2AC² + AC²

A²B、-2AC²、AC² 分別可展開為：

       A²B = A²·b₁²   + ... + A²·b_n²

-2AC² = -2AC·a₁b₁ - ... - 2AC·a_nb_n

      AC² = C²·a₁²  + ... + C²·a_n²

從縱向看，有

A²·b_j² -2AC·a_jb_j  + C²·a_j² = (Ab_j- Ca_j)²，於是有

A²B - AC² = Σ(Ab_j- Ca_j)² ≥ 0.

故 ④ 成立。