【whk向】學習報告：向量與復數的聯系
本文以記錄zps妹妹的理解為主，待我學完學好向量與復數后，再加入個人的理解。
限於個人水平，本文的整理較亂，如果有更好的表述方式，望指出。
本文存在的不嚴謹指出望指正。
前置知識
歐拉恆等式
\(e^{i\pi }+1=0\)
這是歐拉公式的特例，我們將 \(x=\pi\) 作代入歐拉公式 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) 即得出該恆等式。
其中值得注意的是，此處的 \(\pi\) 為超越數圓周率。
正文
引子
我們考慮考慮復數乘法的意義。
先把復數改寫成 \(k\times e^{ia}\) 的形式，其中， \(k\) 是模長， \(a\) 是幅角。
然后把兩個復數乘起來，發現變成 \((k_1k_2)\times e^{i(a_1+a_2)}\) 。
也就是說，乘起來的時候，模長相乘，角度相加。
這可以用來干啥呢？
我們用乘法實現了加法。
對於一個角，我們可以先找一個 \(a,b\) 使得：向量 \((a,b)\) 的幅角為這個角。
比如說有兩個角，就先搞兩個 \((a,b)\) 這樣的向量，然后拿復數的乘法乘起來就行了。
注意，“向量”和“復數”具有對應關系，這里稱向量 \((a,b)\) 和復數 \(a+bi\) 是一個東西。
一
舉個例子，我們要求上圖的 \(\angle ABC\) ，雖然我們可能提前知道這個結論，即它等於45度。
我們可以這樣做，把它的余角求出來，就是 \(BA\) 左邊部分和 \(BC\) 右邊部分，然后就可以用剛才那個，轉換成向量來做。
它等於 \((2+i)\times(3+i)\) ，拆開發現是 \((5+5i)\) ，我們發現它的幅角顯然是 \(45°\) ，因為 \(a=b\) 。
詳細地說，就是指 \(a+bi\) 里面的 \(a,b\) 相等，因為我們知道它的幅角其實就是 \(arctan(b/a)\) ，當 \(a=b\) 的時候， \(arctan(b/a)=arctan(1)=45°\) 。
寫成嚴謹的形式叫 \(Re(5+5i)=Im(5+5i)\) ，其中 \(Re/Im\) 表示取一個復數的實/虛部。
注意，我們只關心角度，並不關心模長，多少都無所謂。
用 \(a+bi\) 這種方法來表示角，本質不同的其實是 \(b/a\) 這個值，所以我們說“模長多少不重要”，但 \(a,b\) 的比值很重要，因為這直接決定了角度大小。
這樣，我們就可以非常方便的處理角的加減問題。
二
接下來我們思考，減怎么做？
就比如我們有一個角是 \((a,b)\) ，要減去一個角 \((c,d)\) 。
“減”相當於“除”，我們當然可以解方程求出它的逆，但這樣有點麻煩，我們來想想有沒有更簡單的方法。
Hint：我們只關心角度，並不關心模長，多少都無所謂。
實際上，我們乘一個 \((c,-d)\) 就行了，可以想象一下這個“向下翻”的過程，就相當於是角度相減了。
我們也許可以試試想象一下那個東西轉起來的圖，就拿上面那個 \((2,1)\times(3,1)\) 舉例子吧。
這里存在着另一個理解，把乘以復數 \(a+bi\) 的過程，看成是一步“變換”。
（其實我們確實可以把它寫成一個矩陣，此處略。）
兩個復數乘起來，即 \((a+bi)\times(c+di)\) ，就相當於先變換一下，然后在原來變換的基礎上再變換一下。
我們注意到復數的那個 \(k\times e^{ia}\) 的形式，那您可以把它的變換看成：
- 模長 \(\times k\)
- 角度 \(+a\)
這兩個東西乘起來，就是模長 \(\times k_1k_2\) ，角度 \(+(a_1+a_2)\) ，就實現了角度加。
然后，我們考慮 \(\times(c,-d)\) ，而 \((c-di)\) 相當於 \((1+0i)(c-di)\) ，它把向量 \((1,0)\) 變成了 \((c,-d)\) 。
我們注意到它的角度是負的，所以可以通過 \(\times(c,-d)\) 的辦法實現角度相減。
三
有這樣一個例題，有一個正方形 \(ABCD\)，它的邊長為 \(4\) ，顯然 \(A,B,C,D\) 按順時針排列。
有一點 \(E\) 在 \(CD\) 上，\(DE=1\) ，把 \(\bigtriangleup AED\) 沿 \(AE\) 折疊，設 \(D\) 點落在 \(D'\) 位置，求 \(\tan\angle D'EC\) 。
（抱歉這里沒有圖，請讀者自行畫圖並嘗試。）
Sol1
這個解法是zps的親手寫的，供讀者參考。
Sol2
這個解法是我第一時間想到的一個歪解，與本文內容無關。
我們只需要利用一下反三角函數就可以做本題了（逃）。
Sol3
本題的正解其實只需要初中知識，即只要過點 \(D'\) 作 \(PQ\parallel AD\) ，然后 \(K\) 型相似即可。
（不知道為什么， \(LaTeX\) 的平行打出來是豎着的）
鳴謝
感謝zps妹妹的幫助/qq