【whk向】學習報告：對數運算初步
定義
在數學中，對數是對求冪的逆運算，正如除法是乘法的倒數。
如果 \(a\) 的 \(x\) 次方等於 \(N\) （ \(a>0\) ，且 \(a≠1\) ），那么數 \(x\) 叫做以 \(a\) 為底 \(N\) 的對數，記作 \(x=\log_{a}{N}\) 。其中， \(a\) 叫做對數的底數， \(N\) 叫做真數。
特別的，我們把以 \(10\) 為底的對數寫成 ,稱為常用對數 \(\lg\) ；把以 \(e\) 為底的對數寫成 \(\ln\) ,稱為自然對數。
常見的性質與運算規則
1 . $\log_{b}{1}=0 $
證明：\(\forall b \in \mathbb{R}^*\) ，有 \(b^0=1\) ，故根據對數的定義即可得證。
2 . $\log_{b}{b}=1 $
證明：因為 \(b^1=b\) ， 故根據對數的定義即可得證。
3 . \(b^{\log_{b}{x} }=x\)
證明：設 \(log_{b}{x}=N\) ，則 \(b^N=x\) ，再把 \(log_{b}{x}=N\) 代入即可得證。
4 . \(\log_{b}{M\cdot N}=\log_{b}{M}+\log_{b}{N}\)
證明：設 \(log_{b}{M}=A,log_{b}{N}=B\) ，根據對數的定義可知， \(b^A=M,b^B=N\) 。於是， \(b^A \cdot b^B=b^{A+B}=M\cdot N\) ，因此有 \(log_{b}{M\cdot N}=A+B=\log_{b}{M}+\log_{b}{N}\) ，得證。
5 . \(\log_{b}{\frac{M}{N} }=\log_{b}{M}-\log_{b}{N}\)
證明：同第 \(4\) 條即可得證。
6 . \(\log_{b}{M^k}=k\cdot \log_{b}{M}\)
證明：\(\log_{b}{M^k}=\log_{b}{ {\textstyle \prod_{i=1}^{k}} M}\) ，再代入第 \(4\) 條，即可得證。
7 . \(\log_{b}{b^x}= x\)
證明：結合第 \(2\) 條與第 \(6\) 條即可得證。
8 . $\log_{b}{x} =\frac{\log_{a}{x}}{\log_{a}{b}} $ （換底公式）
證明：設 \(log_{b}{x}=A,log_{a}{x}=B,log_{a}{b}=C\) ，由定義可知，\(b^A=X,a^B,a^C=b\) 。於是， \(b^A=(a^C)^A=a^{A\cdot C}=x=a^B\) 。因此有 \(A\cdot C=B\) ，即 $A=\frac{B}{C} $ ，代入即可得證。
注：為便於理解，下文解題過程中運用換底公式時都會換成 \(\ln\)（實際上用什么都無所謂）
9 . \(\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}\)
證明： \(\log_{a}{b}=\frac{\ln b}{\ln a} ,\log_{b}{a}=\frac{\ln a}{\ln b}\Rightarrow \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}\)
練習
1.2018-AMC-12B-7
求 \(\log_{3}{7}\cdot \log_{5}{9}\cdots \log_{23}{27}\)
1.Sol
原式 \(= {\textstyle \prod_{i=1}^{11}} \log_{2i+1}{2i+5}= {\textstyle \prod_{i=1}^{11}} \frac{\ln(2i+5) }{\ln(2i+1)} = \frac{ {\textstyle \prod_{i=1}^{13}}\ln(2i+1) }{{\textstyle \prod_{i=1}^{11}}\ln(2i+1)} =\frac{\ln25\cdot \ln27}{\ln3\cdot \ln5} =\log_{3}{27}\cdot\log_{5}{25}=6\)
2.2019-AMC12A-12
已知 \(x,y \in \mathbb{R}\) 且均不為 \(1\) ，並滿足 \(\log_{2}{x}=\log_{y}{16}\) 與 \(xy=64\)
求 \((\log_{2}{\frac{x}{y} })^2\)
2.Sol
令 \(A=\log_{2}{x},B=\log_{2}{y}\)
\(xy=64 \Rightarrow \log_{2}{xy}=\log_{2}{x}+\log_{2}{y}=A+B=\log_{2}{64}=6\)
\(\log_{2}{x}=\log_{y}{16}\Rightarrow \log_{2}{x}=\frac{\log_{2}{16}}{\log_{2}{y}} =\frac{4}{\log_{2}{y}} \Rightarrow \log_{2}{x}\cdot\log_{2}{y}=A\cdot B=4\)
原式 \(=(\log_{2}{x}-\log_{2}{y})^2=(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=20\)
3.2019-AMC12A-23
定義 \(a\diamondsuit b=a^{\log_{7}{b}},a\heartsuit b=a^{\frac{1}{\log_{7}b} }\) ，其中 \(a,b \in \mathbb{R}\)
現有數列 \(a_n=(n\heartsuit (n-1))\diamondsuit a_{n-1}\) ，其中 \(a_3=3\heartsuit 2 ,n\in \mathbb{Z}^*\) 且 \(n\ge 4\)
求最接近 \(log_{7}{a_{2019}}\) 的整數。
3.Sol
\(a_n=(n^{\frac{1}{\log_{7}{n-1} }})^{\log_{7}{a_{n-1}}}=n^{\frac{\log_{7}{}a_{n-1}}{\log_{7}{n-1}} }=n^{\log_{n-1}{}a_{n-1}}\)
\(\Rightarrow \log_{n}{a_n}=\log_{n-1}{a_{n-1}}=\cdots=\log_{3}{a_3}\)
\(a_3=3^{\frac{1}{\log_{7}{2}}}\Rightarrow \log_{3}{a_3}=\log_{3}{3^{\frac{1}{\log_{7}{2}}}}=\frac{1}{\log_{7}{2}}=\log_{2}{7}\)
\(\Rightarrow\log_{2019}{a_{2019}}=\log_{3}{a_3}= \log_{2}{7}=\frac{\ln7}{\ln 2}\)
\(\Rightarrow\log_{2019}{a_{2019}}=\frac{\ln a_{2019}}{\ln2019}=\frac{\ln7}{\ln 2}\)
\(\Rightarrow \frac{\ln a_{2019}}{\ln7}=\frac{\ln2019}{\ln 2}\)
\(\Rightarrow \log_{7}{a_{2019}}=\log_{2}{2019}\approx 11\)
4.2011-CSMC-PartA-6
| \(\lg a\) | \(\lg b\) | \(\lg x\) |
|---|---|---|
| \(p\) | \(\lg y\) | \(\lg c\) |
| \(\lg z\) | \(q\) | \(r\) |
上圖是一個 \(3 \times 3\) 的幻方，每行、每列以及對角線的和相等，請用 \(a,b,c\) 表示 \(xyz\) 的乘積。
4.Sol
設每行、每列以及對角線的和為 \(\lg A\)
\(\Rightarrow \lg x+\lg y+ \lg z =\lg A\Rightarrow xyz=A\)
第一行： \(\lg a+\lg b+ \lg x =\lg A\Rightarrow x=\frac{A}{ab}\)
第三列： \(\lg x+\lg c+ r =\lg \frac{A}{ab} +\lg c+ r=\lg A\Rightarrow r=\lg \frac{ab}{c}\)
主對角線： \(\lg a+\lg y+ r =\lg A\Rightarrow y=\frac{Ac}{a^2b}\)
第二列： \(\lg b+\lg y+ q =\lg b+\lg \frac{Ac}{a^2b} +q=\lg A\Rightarrow q=\lg \frac{a^2}{c}\)
第三行： \(\lg z+ q+r =\lg z+\lg \frac{a^2}{c} +\lg \frac{ab}{c}=\lg A\Rightarrow z=\lg \frac{Ac^2}{a^3b}\)
\(\Rightarrow A=xyz=\frac{A}{ab}\cdot\frac{Ac}{a^2b}\cdot\frac{Ac^2}{a^3b}=\frac{A^3c^3}{a^6b^3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{A^2}=\frac{c^3}{a^6b^3}\)
\(\Rightarrow xyz=A=\frac{a^3b^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{3}{2}}}\)