復數學習筆記

實部虛部

復數 \(z\) 的實部（Real part）記為 \(\operatorname{Re} z\)（或 \(\operatorname{Re}(z)\)，\(\mathcal {Re}(z)\)，\(\mathfrak {R}(z)\)），虛部（Imaginary part）記為 \(\operatorname{Im}z\)（或 \(\operatorname{Im}(z)\)，\(\mathcal {Im}(z)\)，\(\mathfrak{I}(z)\)）

共軛與模

\(|z|\) 稱為 \(z\) 的模或絕對值，\(\bar z\) 稱為 \(z\) 的共軛復數。下面是它們的一些基本性質：

設 \(z\) 和 \(w\) 是兩個復數，那么

1. \(\operatorname{Re} z=\dfrac12(z+\bar z)\)，\(\operatorname{Im} z = \dfrac1{2\mathrm{i}}(z-\bar z)\)

2. \(z\) 為純虛數 \(\iff\) \(z=-\bar z\) 且 \(z\neq 0\)

3. \(z\) 為實數 \(\iff\) \(z=\bar z\)

4. \(z\bar z=|z|^2\)

5. \(\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\overline{zw}=\bar z\bar w\)

6. \(|zw|=|z|\,|w|\)，\(\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}\)

7. \(|z|=|\bar z|\)

這些性質的證明都很簡單，但在證明 \(|zw|=|z|\,|w|\) 時，初學者往往會用 \(z\) 和 \(w\) 的實部和虛部來表示 \(|zw|\) 和 \(|z|\,|w|\)，從而證明它們相等。其實，利用 \(z\bar z=|z|^2\) 來證明要簡單得多：

\[|zw|^2=(zw)(\overline{zw})=(z\bar z)(w\bar w)=|z|^2|w|^2 \]

復數共軛的四則運算

\[\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm \bar z_2,\ \overline{z_1\cdot z_2} = \bar z_1\cdot \bar z_2,\ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar z_1}{\bar z_2} \]

這幾個公式表明：共軛運算和四則運算的順序是可以交換的。

復數的輻角

以 \(x\) 軸的正半軸為始邊、向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 所在的射線為終邊的角 \(\theta\)，叫做復數 \(z\) 的輻角，記作 \(\operatorname{Arg}z=\theta\)。不等於零的復數的輻角有無限多個值，這些值相差 \(2\pi\) 的整數倍。例如，復數 \(\mathrm{i}\) 的輻角是 \(\frac{\pi}{2}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\)。為了使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，滿足 \(0\le \theta < 2\pi\) 的輻角的值，叫做輻角主值，記作 \(\operatorname{arg}z\)，即 \(0\le \operatorname{arg} z <2\pi\)。

注：不同教材的定義略有差別，史濟懷《復變函數》中定義 \(-\pi\le \operatorname{arg} z <\pi\)。

每一個不等於零的復數有唯一的模與輻角主值，並且可由它的模與輻角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等。 如果 \(z=0\)，那么與它對應的向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 縮成一個點（零向量），這樣的向量的方向是任意的，所以復數 \(0\) 的輻角也是任意的。

代數形式

\(z=a+b\mathrm{i}\ (a,b\in\mathbb{R})\)

\(z_1>z_2 \implies z_1,z_2\in\mathbb{R}\)
\(z_1-z_2>0 \iff \operatorname{Im}(z_1)=\operatorname{Im}(z_2)\wedge \operatorname{Re}(z_1)>\operatorname{Re}(z_2)\)
可見 \(z_1>z_2\) 不等價於 \(z_1-z_2>0\)，在復數域上不等式的性質不成立。

三角形式

\(z=\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta\)

棣（dì）莫弗公式

\[r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_2)\cdot r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)=r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i} \sin(\theta_1+\theta_2)\right] \]

\[[r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta) \]

\[\frac{r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_2)}{r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i} \sin(\theta_1-\theta_2)\right] \]

復數相乘的幾何意義： 由棣莫弗公式可以看到，兩個復數相乘意味着將這兩個復數的模長相乘，輻角相加。由此容易推出：\(|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|\)，\(\operatorname{Arg}\left(z_1z_2\right)= \operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg}z_2\)（或相差 \(2\pi\)）

復數的開方

在復數范圍內，開方這一運算已經和實數范圍的大有不同。設 \(z_0=r_0(\cos \theta_0+\mathrm{i}\sin \theta_0)\)，則對 \(z_0\) 開 \(n\) 次方，本質上就是在解方程：\(z^{n}=z_0\) 。根據代數基本定理，我們知道它有且僅有 \(n\) 個解。再根據棣莫弗公式，不難推出下面這 \(n\) 個復數就是方程的解：

\[z_{k}=\sqrt[n]{r_0}\left(\cos \frac{\theta_0+2 k \pi}{n}+\mathrm{i}\sin \frac{\theta_0+2 k \pi}{n}\right),\ k=1,2, \ldots, n \]

這就是復數開方的一般表達式。

單位根

多項式 \(x^{n}=1\) 的 \(n\) 個根稱為 \(1\) 的 \(n\) 次單位根，記為 \(\xi_{k}\ (k=1,2, \ldots, n)\)。

由復數開方公式：

\[\xi_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}(k=1,2, \ldots, n) \]

特別地，當 \(n=3\) 時，記 \(\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\)，則 \(1, \omega, \omega^{2}\) 是 \(1\) 的三個 \(3\) 次單位根。（\(\omega\) 是復數中的一個專有符號，它代表的就是這個 \(3\) 次單位根的復數，一般不會有其他含義）

關於 \(n\) 次單位根，有如下性質：

\(\xi_{k}^{n}=1\ (k=1,2, \ldots, n)\)，特別地，\(\xi_{k}\ (k=1,2, \ldots, n-1)\) 滿足方程：

\[x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=0 \]

\(\xi_{k}=\xi_{1}^{k}\ (k=1,2, \ldots, n)\)

\(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n-1}\right)\)

證明：由棣莫弗公式，

\[\xi_{1}^{k}=\left(\cos \frac{2 \pi}{n}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{n}\right)^{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+\mathrm{i} \sin \frac{2 k \pi}{n}=\xi_{k} \]

由因式定理，因為 \(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\) 是方程 \(x^{n}-1=0\) 的 \(n\) 個根，故 \(x^{n}-1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n}\right)\)

根據冪差公式，\(x^{n}-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)\)。兩者比較即有

\[x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n-1}\right) \]