復數學習筆記1

復數有毒。。。(不過貌似數學得學)

定義

在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z₁=(a,b),z₂=(c,d))：

z₁ + z₂=(a+c,b+d)

z₁ × z₂=(ac-bd,bc+ad)

容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何復數z，有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是從實數域到復數域的映射，f(a)=(a,0)，則這個映射保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入復數域中，可以視為復數域的子域。

記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。

 

概念

形如  的數稱為復數，其中規定i為虛數單位，且   （a，b是任意實數）

我們將復數   中的實數a稱為復數z的實部，記作Rez=a，實數b稱為復數z的虛部，記作 Imz=b。

當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。

復數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。

復數集是無序集，不能建立大小順序。

復數的模

對於復數

  ，它的模

 

運算法則

加法法則

 

幾何意義：坐標為a,b代表a+bi，相加相當於與原點相連的矢量相加，平行四邊形定則

乘法法則

 

幾何意義：模長相乘

除法法則

復數除法定義：滿足  的復數  叫復數a+bi除以復數c+di的商。

運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛復數，再用乘法法則運算，

即

 

開方法則

若z ⁿ=r(cosθ+isinθ），則

 

（k=0，1，2，3…n-1）

運算律

加法交換律：z₁+z₂=z₂+z₁

乘法交換律：z₁×z₂=z₂×z₁

加法結合律：(z₁+z₂)+z₃=z1+(z₂+z₃)

乘法結合律：(z₁×z₂)×z₃=z₁×(z₂×z₃)

分配律：z₁×(z₂+z₃)=z₁×z₂+z₁×z₃

i的乘方法則

i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1, i⁴ⁿ⁺³=-i, i⁴ⁿ=1（其中n∈Z）

之后循環。。。

 

分類

復數分為實數和虛數兩大類.
實數又分為有理數和無理數兩大類.
有理數可分為整數和分數兩大類,
整數可分為正整數,負整數,0.
分數可分為正分數,負分數.

 

令$\Large{\omega_n^m}$為第m個n次根，也就是$\omega_n$的m次方，在單位圓上平分n份，此為第m個