前幾天氪了本《具體數學》，感覺開了個天坑qwq，現在已經看了一些了，里面一些很有意思的性質，稍微紀錄一下吧。
以后爭取每天能看一點，當然不一定是按順序看。
第1章 遞歸問題
1.1河內塔
$n$個盤子的漢諾塔問題需要移動$2^n - 1$次
1.2平面上的直線
$n$條直線最多能將平面划分為$\frac{n(n+1)}{2}$ + 1個區域
1.3約瑟夫問題
約瑟夫問題：$n$個人圍成一個圈，每隔兩個人殺死一個人，問最后誰會活下來
設$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
即$J(n) = n_2 \ left \ rotate$(左循環一位)
第2章 和式
2.1 記號
$\sum_{k = 1} ^n a_k$
$\sum$后面的量成為被加數(summand)
$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$
其中$p_k$表示第$k$個素數，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素數的個數。
這個和式給出了接近$N$的隨機整數平均而言有多少個素因子，因為那些整數中大約有$1/p$個能被$p$整除，對於大的$N$，它的值近似等於$lnlnN + M$，其中
$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$
是麥爾騰(mertens)常數(百度不到這個人？！)
2.2 和式和遞歸式
將$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$轉化為和式
$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$
其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$
$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$
字母$H$表示“調和的”,$H_n$稱為一個“調和數”(harmonic number)
2.3 和式的處理
設$K$是任意一個有限整數集合，$K$中元素的和式可以用三條簡單的法則加以變換：
$$\sum_{k \in K}ca_k = c \sum_{k \in K}a_k$$
$$\sum_{k \in K}(a_k + b_k) = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k \in K}b_k$$
$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}$$
第4章 數論
4.1 整除性
如果$m > 0$且比值$n \mid m$是一個整數，我們就說$m$整除$n$（或者$n$被$m$整除）
$m \mid n \Longleftrightarrow m > 0 $且對某個整數$k$有$n = mk$
如果$m$不整除$n$，我們就寫成$m \nmid n$
兩個整數$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他們兩者的最大整數
$$gcd(m, n) = max\{k \ that \ k\mid m 且 k \mid n\}$$
4.2 素數
如果一個正整數$p$恰好只有兩個因子，即$1$和$p$，那么這個數就稱為素數（prime）
算術基本定理：有且僅有一種方式將$n$按照素數非減的次序寫成素數的成績
$$n = p_1 \dots p_m = \prod_{k = 1}^m p_k$$
4.3 素數的例子
素數有無窮多個
形如$2^p - 1$的數，稱為梅森素數(Mersenne number)
4.4 階乘的因子
斯特林公式
$$n! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n $$
4.5 互素
當$gcd(m,n) = 1$時，整數$m$和$n$沒有公共的素因子，我們就稱它們是互素的(relatively prime)
若$m \bot n \Longleftrightarrow m,n$是整數，且$gcd(m,n) = 1$
Stern-Brocot樹：構造由滿足$m \bot n$的全部非負的分數$frac{m}{n}$組成的集合
構造方法：首先從$(\frac{0}{1},\frac{1}{0})$出發，每次在兩個相鄰接的分數$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之間插入$\frac{m + m'}{n + n'}$
性質：
1. 如果$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$是這個構造中任何一個階段的相鄰的分數，我們就有$$m'n - mn' = 1$$
2. 對於分數$\frac{a}{b}$，至多在$a + b$步之后我們一定會得到$\frac{a}{b}$
階為$N$的法里級數(Farey serires)記為$F_n$，它是介於$0$到$1$之間的分母不超過$N$的所有最簡分數組成的集合，且按照遞增的次序排列
遞推方法：$F_n$可以由$F_{n - 1}$中分母之和等於$N$的相鄰分數$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之間插入分數$\frac{m + m'}{N}$得到。
當$N$是素數時，將會出現$N - 1$個新的分，否則會有少於$N - 1$個新的分數
4.9 $\phi $函數和$ \mu $函數
$phi $函數性質
1.$n^{\phi{m}} \equiv p^k - p^{k - 1}$
2.若$p$為素數，$\phi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
因為$\phi$函數為積性函數，因此$$\phi(m) = \prod_{p \mid m}(p^{m_p} - p^{m_p - 1}) = m \prod_{p \mid m}(1 - \frac{1}{p})$$
3.$\sum_{d \mid m} \phi(d) = m$
積性函數
如果$f(1) = 1$，且$$f(m_1m_2) = f(m_1)f(m_2)$$
只要$m_1 \bot m_2$，那么正整數的函數$f(m)$稱為是積性的(multiplicative)
第6章 特殊的數
6.6 斐波那契數
1.卡西尼不等式
$$F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n^2 = (-1)^n, n > 0$$
2.
$$F_{n + k} = F_kF_{n + 1} + F_{k - 1}F_n$$
3.
$F_{kn}$都是$F_n$的倍數，其逆命題也成立
4.如果$n > 2$，則斐波那契數$F_m$是$F_n^2$的倍數，當且僅當$m$是$nF_n$的倍數
5.每一個正整數都可以用斐波那契數唯一表示
$n = F_{k_1} + F_{k_2}+ \dots + F_{k_r}, k_1 \gg k_2 \gg \dots \gg k_r \gg 0$