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生成函數
二項式系數(組合數)
\(\displaystyle C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
\(n \in R,m \in N\)時廣義二項式定理系數
\(\displaystyle C_n^m=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}\)
廣義二項式定理(a 不一定是整數)
\(\displaystyle (1+x)^a=\sum_{i=0}^{\infty}C_a^ix^i\)
關於二項式的恆等式
\(C_n^m=C_n^{n-m}\)
多項式求導
\(\displaystyle (x^a)'=ax^{a-1}\)
多項式積分
\(\displaystyle \int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\)
一般生成函數(OGF)(轉載 鈴懸)
\[\displaystyle \sum_{n\geq0}[n=m]x^n=x^m\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}x^n=\frac{1}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}(-1)^{n}x^n=\frac{1}{1+x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}^mx^n=\frac{1-x^{m+1}}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq m}x^m=\frac{x^m}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}c^nx^n=\frac{1}{1-cx}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}C_{n+k-1}^{n}x^n=\frac{1}{(1-x)^k}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}x^{nk}=\frac{1}{1-x^k}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}=e^{x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{c^nx^n}{n!}=e^{cx}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=ln(1+x)\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{kn}=ln(1+x^k)\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{1}{n}x^n=ln\frac{1}{1-x}\\ \displaystyle \sum_{n\geq0}\frac{1}{n}x^{kn}=ln\frac{1}{1-x^k} \]
前綴和 生成函數乘上\(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}x^i=(1-x)^{-1}\)
差分 生成函數乘上\((1-x)\)
指數生成函數(EGF)