概率生成函數
如果對於數列\(a_0 , a_1 , a_2 , . . . ,\)存在某個離散隨機變量\(X\)滿足\(\mathrm{Pr}(X = i) = a_i,\)那么\(a_n (n \in \mathbb N)\)的普通生成函數被稱為\(X\)的概率生成函數。
也就是說,如果\(X\)是非負整數集\(\mathbb N\)上的離散隨機變量,那么X的概率生成函數為：
\[F(z) = \mathbb E(z^X) = \sum_{i=0}^\infty \mathrm{Pr}(X = i)z^i \]
概率生成函數性質
因為是\(X\)是非負整數集\(\mathbb N\)上的離散隨機變量，所以必有
\[F(1) = \sum_{i=0}^\infty \mathrm{Pr}(X = i) = 1 \]
對\(F(z)\)求導，得到
\[F'(z) = \sum_{i=0}^\infty i\mathrm{Pr}(X = i)z^{i - 1} \]
即\(X\)的期望
\[E(X) = F'(1) = \sum_{i=0}^\infty i\mathrm{Pr}(X = i) \]
進一步推導可得
\[E(X ^ \underline{k}) = F^{(k)}(1), (k \neq 0) \]
於是\(X\)的方差
\[\mathrm{Var}(X) = F''(1) + F'(1) - (F'(1)) ^ 2 \]