概率生成函数
如果对于数列\(a_0 , a_1 , a_2 , . . . ,\)存在某个离散随机变量\(X\)满足\(\mathrm{Pr}(X = i) = a_i,\)那么\(a_n (n \in \mathbb N)\)的普通生成函数被称为\(X\)的概率生成函数。
也就是说,如果\(X\)是非负整数集\(\mathbb N\)上的离散随机变量,那么X的概率生成函数为：
\[F(z) = \mathbb E(z^X) = \sum_{i=0}^\infty \mathrm{Pr}(X = i)z^i \]
概率生成函数性质
因为是\(X\)是非负整数集\(\mathbb N\)上的离散随机变量，所以必有
\[F(1) = \sum_{i=0}^\infty \mathrm{Pr}(X = i) = 1 \]
对\(F(z)\)求导，得到
\[F'(z) = \sum_{i=0}^\infty i\mathrm{Pr}(X = i)z^{i - 1} \]
即\(X\)的期望
\[E(X) = F'(1) = \sum_{i=0}^\infty i\mathrm{Pr}(X = i) \]
进一步推导可得
\[E(X ^ \underline{k}) = F^{(k)}(1), (k \neq 0) \]
于是\(X\)的方差
\[\mathrm{Var}(X) = F''(1) + F'(1) - (F'(1)) ^ 2 \]