圖解算法——跳台階/爬樓梯

 

1、題目描述

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。每次你可以爬 1 或 2 個台階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數。

來源：力扣（LeetCode）
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2、示例

示例1：

輸入： 2
輸出： 2
解釋： 有兩種方法可以爬到樓頂。
1.  1 階 + 1 階
2.  2 階

示例2：

輸入： 3
輸出： 3
解釋： 有三種方法可以爬到樓頂。
1.  1 階 + 1 階 + 1 階
2.  1 階 + 2 階
3.  2 階 + 1 階

3、解題思路

第一次看到這道題，可能會有點不知所措。但是不要着急，我們可以暴力，我們可以窮舉！

思路1：

當 n = 1時，一共跳 1 級；

當 n = 2時，一共跳 2 級；

當 n = 3時，一共跳 3 級；

當 n = 4時，一共跳 5 級；

當 n = 5時，一共跳 8 級；

...

咦？這不就是去了第一個項的斐波那契數列嘛？

到此為止，我們可以列出方程了：f(n) = f(n-1) + f(n-2);

不過，我們需要手動增加  0 項為 1 。

所以，代碼如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1 || n==0){
            return 1;
        }     
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}

提交結果：

 

 

 思路2：

第二個思路是，利用動態規划。其實，這個題目也是動態規划的經典題目。

本問題其實常規解法可以分成多個子問題，爬第n階樓梯的方法數量，等於以下兩部分之和：

• 爬上 n-1 階樓梯的方法數量：因為再爬1階就能到第 n 階；
• 爬上 n-2 階樓梯的方法數量：因為再爬2階就能到第 n 階。

所以我們得到公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]；
同時需要初始化 dp[0]=1 和 dp[1]=1；
時間復雜度：O(n)。

代碼如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1 || n==0){
            return 1;
        }
        int[] arr = new int[n+1];
        arr[0] = 1;
        arr[1] = 1;
        for(int i = 2; i<n+1; i++){
            arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];
        }
        return arr[n];
    }
}

提交結果如下：

 

 

 思路3：

是的，這道題還有第三種方法。

那就是純數學方法，有人說上面不也是數學方法嘛？是的，上面也是，但是下面這個更厲害。

由第一種方法我們可知是斐波那契數列，其實菲波那切數列是有公式的。

 

 時間復雜度為：O(log n)。

代碼如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
        double fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1);
        return (int)(fib_n / sqrt_5);
    }
}

提交結果和第二種差不多。

 OK ，下一篇我們來看跳台階的進階版。

 

 

Over......