1、線性規划
1.1 線性規划的定義
線性規划的標准形式：
其中的 c 和 x 均為 n 維列向量，A、 Aeq 為適當維數的矩陣，b 、beq 為適當維數的列向量。
例如：x1 和 x2 稱為決策變量，整個式子分為了目標函數和約束條件
總之， 線性規划問題是在一組線性約束條件的限制下， 求一線性目標函數最大或最小的問題。
1.2 線性規划的解
線性規划問題的標准數學形式：
滿足（4）並使（3）達到最大值的可行解稱為最優解；可行解構成的域稱為可行域。
1.2.1 圖解法
1.1 中例子的約束條件 x1 和 x2 可用域如下，顯然，對於目標函數來說，x1 和 x2 越大，目標函數值越大，最優解為
，最優目標值為 z* = 26。
有如下結論：
- 可行域可出現多種情況，既可能有界，也可能無界。
- 可行域非空時，既可存在有限最優解，也可不存在最優解。
- 若存在最優解，則必可找到具有可行域的“頂點” 。
1.2.2 MATLAB 解法
MATLAB 線性規划標准形式為
線性規划的函數為 linprog ，注意，linprog 求解的為線性規划最小值 min，若想求線性規划最大值，則需要對向量 c 取符號
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)
fval 返回目標函數的值， LB 和 UB 分別是變量 x 的下界和上界，x0 是 x 的初始值，
例 1
m 文件：注意 linprog 中 c 取了負號
例 2
m 文件：
1.3 可轉換為線性規划的問題
可取
那么問題轉化為
例 3
其中 
對於以上問題，取 
，那么問題變為線性規划問題
1.4 運輸問題
某產品有 m 個產地，n 個銷地，各地產量為 a1，a2 ... am，各地需求量為 b1，b2 ... bn，從 i 到 j 的單價運費為 cij，問如何調度才可使總運費最省？
解：
引入 xij，其取值為由 i 產地運往 j 銷地的該商品數量，有
對於產銷平衡問題，有以下關系：
1.5 指派問題
n 個人干 n 項工作，若第 i 個人去干第 j 項工作，需要花費 cij 時間，給定矩陣 C = (cij) 問如何分配才可使花費總時間最短？
解：
引入變量 xij，用來表示第 i 個人是否做第 j 項工作，xij = 1 表示做，xij = 0 表示不做，那么可得到如下數學模型：
同理，xij 也可使用矩陣來表示，每行每列僅有一個為 1，其余為 0，因此這為 0-1 規划問題，針對指派問題，可將約束條件寫為 xij >= 0 ，m = n = n，ai = bi = 1 ，因此可發現，這個問題進一步簡化為了運輸問題。
1.5.1 指派問題的匈牙利算法
對系數矩陣 C 行或列進行線性變換，得到新的矩陣 B，矩陣 B 和 C 具有相同的最優指派。
例 4
指派問題的系數矩陣為
對其進行行列變換得到：
可發現，最優指派為 x12 = 1, x21 = 1, x33 = 1, x44 = 1
例 5
對於較為復雜的指派問題
對其進行線性變換，有
對於第 3 行和第 5 行，都只在第 1 個元素的位置為 0，那么這時無法得到最優指派，只能繼續進行線性變換，有
這時，可發現，最優指派為 x12 = 1, x24 = 1, x31 = 1, x43 = 1, x55 = 1
1.6 對偶理論與靈敏度分析
1.6.1 原始問題和對偶問題
稱（P）為原始問題， （D）為它的對偶問題。 注意變換時 c 和 b 的位置。
對於如下線性規划問題：
可改寫為
那么對偶問題為
令 y = y1 - y2 ，又可寫成
可將原始問題轉化為對偶問題進行求解，在求出最優解后，再根據性質反求出原始問題的最優解。
4.2 靈敏度分析
靈敏度分析就是系數、常數等發生變化時， 已求得的線性規划問題的最優解會有什么變化；或者這些系數在什么范圍內變化時， 線性規划問題的最優解或最優解不變。也可理解為魯棒性。
1.7 投資的收益和風險
以一個題目為例對本知識點進行總結。
1.7.1 問題描述
市場上有 n 種資產 si(i = 1, 2, ..., n)，目前資金總數為 M，資產 si 的收益率為 ri，虧損率為 qi，交易費率為 pi，在不超過金額 ui 時，交易費按 ui 計算，假設銀行存款利率為 r0。r0 = 5%
n = 4 時
目標是使凈收益盡可能大，總風險盡可能小。
1.7.2 符號規定
定義 xi 為投資 si 的資金，a 為投資風險度，Q 為總體收益。
基本假設：
- 投資數額 M 相當大，為了便於計算，假設 M = 1
- 投資越分散，總的風險越小
- 總體風險用所投資的所有項目中最大的一個風險來度量
- n 種資產之間是相互獨立的
- ri，pi，qi，r0 為定值，不受外界影響
1.7.3 建模與分析
模型為：目標函數第一個為收益，第二個為風險
1.7.4 模型簡化
固定風險水平，優化收益
在實際中，由於承受風險能力不同，因此規定一個風險界限 a，使得 
，那么模型變為
模型一：
固定盈利水平，極小化風險
若希望總盈利到達 k 以上，則目標函數變為了極小化風險
模型二：
權衡資產風險和預期收益
對風險和收益進行權衡，設置權重 s (0 < s < 1)，s 稱為投資偏好系數
模型三：
1.7.5 模型的求解
以上模型的求解可使用 MATLAB 解法進行解決，以模型一為例
從 a = 0 開始，以步長 0.001 循環搜索，MATLAB 代碼如下：
1.7.6 結果分析
- 風險大，收益也大。
- 當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。
- （根據 MATLAB 圖形進行說明）在 a = 0.006 附近有轉折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長很快。在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對於風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優投資組合，大約 a = 0.6%，Q = 20%，（然后計算投入各個資產的資金數量）x0 = 0, x1 = 0.24, x2 = 0.4, x3 = 0.1091, x4 = 0.2212.