整數線性規划

現在有一個廠家打算用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量、可 獲利潤以及托運所受限制如下表所示：

其中，貨物甲每箱 5 立方米，重 200 斤，托運一箱可獲利 2 千元，也就是 20 個百元；

貨物乙每箱 4 立方米，重 500 斤，托運一箱可獲利 1 千元，也就是 10 個百元；

由於集裝箱的大小及承載量有限，只能托運不大於 24 立方米且重量不超過 13 個百斤的貨物。

問兩種貨物各托運多少箱，可使獲得利潤為最大？

顯然這是一個最優化問題，目的是獲取最大利潤。決策變量是托運甲、乙 兩種貨物的箱數，為此，我們設甲乙兩種貨物分別托運x1箱和x2箱，於是目標就 是求𝑥1和𝑥2，使得20x1 + 10x2最大。

注意到托運限制體積是 24 立方米，因此5x1 + 4x2 ≤ 24；

托運限制重量是 13，所以2x1 + 5x2 ≤ 13

此外，我們還需要注意到托運的箱數必須非負；不僅如此，由於本題托運貨 物按箱計算，所以x1和x2還必須為整數。

因此本題的數學模型是：目標函數20𝑥1 + 10𝑥2取最大值，並且它受到 4 個約 束條件的限制

\[max\quad z=20x_1+10x_2\\ s.t. \begin{cases} 5x_1+4x_2\le 24\\ 2x_1+5x_2\le 13\\ x_1,x_2\ge 0,x_1,x_2\in Z \end{cases} \]

這個模型和的線性規划非常像，唯一的區別是增加了對自變量是 整數的限制，這類規划問題屬於整數規划。

決策變量（全部或部分）限制為整數的規划稱為整數規划。整數規划的英文 翻譯是 integer program, 簡稱 IP。

若在線性模型中，變量限制為整數，則稱為整數線性規划，即 ILP。目前所 流行的求解整數規划的方法往往只適用於整數線性規划。

整數規划又分以下四類：

1. 純整數規划：所有決策變量均要求為整數
2. 混合整數規划：部分決策變量要求為整數
3. 純 0－1 規划：所有決策變量均要求為 0 或者 1
4. 混合 0－1 規划：部分決策變量要求為 0 或者 1

整數規划與線性規划不同這處在於增加了整數約束。如果不考慮整數約束， 那么對應的線性規划稱為整數規划的線性松弛模型。

Matlab 在求解整數規划時，調用函數 intlinprog (), 其具體格式為:

[x,favl]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

該函數的使用和 linprog 函數的使用十分相似，區別在於，intlinprog ()函數在 linprog 函數的基礎上多了一個參數——intcon。

intcon 的意義為整數約束變量的位置，這個位置是按照目標函數和約束條件 中變量位置來排列的。

以引例來說，它的數學模型是:

\[max\quad z=20x_1+10x_2\\ s.t. \begin{cases} 5x_1+4x_2\le 24\\ 2x_1+5x_2\le 13\\ x_1,x_2\ge 0,x_1,x_2\in Z \end{cases} \]

M文檔如下：

c=[-20,-10];
intcon=[1,2];
A=[5,4;2,5];
b=[24;13];
vlb=zeros(2,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],vlb,[])

在程序的第二行中，語句 intcon=[1,2]表明𝑥1和𝑥2都為整數。

得到結果如下：

x =
 3.9205
 0.2291
 26.0000
fval =
 2.0584

也就是托運 4 箱 A 貨物和 1 箱 B 貨物，可以獲得最大利潤，最大利潤為 90 個百 元單位，即 9000 元。

接下來我們通過一個例子來看看混合整數規划問題的求法。

超市里有 3 種食品，玉米，牛奶和面包，單價，所含的維他命 A 和卡路里 的信息如下。

問題是買多少份的玉米，牛奶，面包，使得總價格最低，而維他命 A 的總攝取 量不小於 500 但不大於 50000，卡路里的總攝取量不小於 2000 但不大於 2250， 面包的份數必須是整數。

模型如下：

\[min \quad z=0.18x_1+0.23x_2+0.05x_3\\ s.t.\begin{cases} 500\le 107x_1+500x_2\le 50000\\ 2000\le 72 x_1+121x_2+65x_3\le 2250\\ x_1,x_2,x_3\ge 0,x_1\in Z \end{cases} \]

編程如下：

c=[0.18,0.23,0.05];
intcon=3; % intcon=3 代表𝑥3是整數。
A=[107,500,0;72,1212,65;
 -107,-500,0;-72,-121,-65];
b=[5000;2250;-500;-2000];
vlb=zeros(3,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],vlb,[])

結果如下：

x =
 3.9205
 0.2291
 26.0000
 
 
fval =
 2.0584