整數線性規划求解----分枝定界法
什么是整數規划?
線性規划中的變量（部分或全部）限制為整數時，稱為整數規划。若在線性規划模型中,變量限制為整數，則稱為整數線性規划。目前所流行的求解整數規划的方法，往往只適用於整數線性規划。目前還沒有一種方法能有效地求解一切整數規划。
整數規划的分類
- 變量全限制為整數時，稱(完全)整數規划
- 變量部分限制為整數時，稱混合整數規划
什么是分枝定界法
原理如下：
設有最大化的整數規划問題A,與它相應的線性規划為問題B,從解問題B開始,若其最優解不符合A的整數條件,那么B的最優目標函數必是A的最優目標函數\(z^*\)的上界\(\overline{z}\)；而A的任意可行解的目標函數值將是 \(z^*\)的一個下界\(\underline z\) ,分枝定界法就是將B的可行域分成子區域的方法。逐步減小\(\overline z\)和增大\(\underline z\)最終求到\(z^*\)
本質就是個分治回溯,逼近最大值的算法。Matlab算法如下：（強烈警告，（不會驗證）由於比較懶，並未對算法正確性驗證，思路上驗證了一下沒問題就碼上來了，如果有錯，請一定聯系~~）
% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函數的相關參數，知道了它們就可以求出對應的線性規划最優解，
% now是目前已經知道的整數解的最大值
function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)
ret = 0;
[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最優解的解向量，fval是對應的函數值
if fval < now
y = fval;
return;
end % 如果得到的當前最優解fval小於已知的now,那說明最優整數解不在這個區間，則剪枝返回。
for i = 1 : length(x)
if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不為0,則表示是小數。遍歷x,找到第一個小數xi.
NUB = UB;
NLB = LB;
NUB(i) = floor(x(i)); % 把xi對應的上界更新為xi的向下取整。
NLB(i) = ceil(x(i)); % 把xi對應的下界更新為xi的向上取整。
fval1 = control(c,A,Aeq,Beq,LB,NUB,now); %分成了兩個區間， 原來下界~向下取整
now = max(fval1,now);
fval2 = control(c,A,Aeq,Beq,NLB,UB,now); % 向上取整~原來上屆
ret = max(ret,fval1); % 更新得到整數最優解，並退出。
ret = max(ret,fval2);
break
end
if i == length(x) %如果每個xi都是整數，直接退出
y = ret;
return ;
end
end
if j == length(x)+1 %如果當前已經是整數最優，返回fval，否則返回ret。
y = fval;
end
end
非線性整數規划--蒙特卡洛算法（隨機取樣法）
什么是非線性規划？
就是自變量不再是線性的規划。沒錯就是這個。
蒙特卡洛算法
對於非線 性整數規划目前尚未有一種成熟而准確的求解方法，那么找到一個相對滿意的解就成了主要需求。
蒙特卡洛算法是一種大量隨機取樣枚舉解，以達到存在一種解，其函數值落在了我們期望的高值區（不要問我什么是高值區）。
那么具體多少次枚舉合適呢？這是相對於問題而言的，舉個例子：
\(0\leq x_i \leq 99 ，1 \leq i \leq 5, y = x_1^2 + x_2^2+3x_3^2+4x_4^2+2x_5^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2x_5\) ,
解空間大小為\(100^5 = 10^{10}\),太大了，枚舉不了
如果選擇隨機采樣1e6,假設最優點不是孤立的奇點，並設目標函數落在可以接受的高值區的概率是0.00001,那么存在一個點落在高值區的概率為 1-\(0.99999^{1000000}\) \(\approx\) 0.999954602,顯然這個概率是可以接受的，也即是我們認為通過隨機采樣1e6，是能夠得到滿足期望的解。
隨機采樣的算法就不寫了，因為太懶了（因為不會）。
今日感觸：matlab的庫函數是真的多，基礎語法還是不行啊，以及數模的算法還挺有意思的，雖然高大上，其實也就那樣。
-----9.10 更新
~~