1.線性規划
求線性規划問題的最優解有兩種方法，一種方法是使用linprog命令，另一種是使用optimtool工具箱，下面分別介紹這兩種方法.
①linprog命令
一般情況下，Linprog命令的參數形式為[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)，下面分別介紹各參數的含義.
[x,fval]返回值中x為最優解，fval為最優值.
f表示目標函數中各個變量前面的系數向量，如果是求最小值問題，那么f就是各個變量的系數，如果是求最大值問題，那么f就是各個變量的系數的相反數.
A和b 表示不等式約束A*x <=b中的矩陣A和向量b.
Aeq和beq 表示等式約束Aeq*x =beq中的矩陣Aeq和向量beq.
lb和ub 分別表示自變量的上下界組成的向量，如果沒有上下界，該選項用[]表示，如果只有部分變量有上下界，其余的變量沒有，那么可以把沒有上下界的變量的上下界設為-inf或者inf使lb或者ub的長度符合要求.
x0 表示變量的初始值，可以缺省.
例，求如下的線性規划問題
由目標函數可知f=[-5;-4;-6];
由約束條件可知矩陣A = [1 -11;3 2 4;3 2 0];右端向量為b = [20;42;30];
由自變量都大於零可知lb =[0;0;0];
所以求該線性規划問題最優解的代碼如下
f = [-5;-4;-6];
A = [1 -1 1;3 24;3 2 0];
b = [20;42;30];
lb = [0;0;0];
[x,fval] =linprog(f,A,b,[],[],lb)
其中Aeq和beq都為空，因為沒有等式約束條件，只有不等式約束條件.
②optimtool工具箱
在Command窗口輸入optimtool，即可彈出optimtool工具箱，如下
工具箱可以大致分為5個部分.第5部分為說明文檔，第4部分為優化選項，第3部分為最優解和最優值的顯示區域，第2部分為約束條件輸入區，第1部分可以填入目標函數值，初始值等.
利用工具箱求解①的問題，填入相應的數據，然后點擊【start】按鈕，得到結果如下
可以看到，最優解與linprog命令的方式求得的結果是相同的，但最優值不是-78，因為這是迭代的結果，只有在迭代次數區域無窮的時候，才能得到准確值-78.
再舉一例，利用MATLAB求解下面這個線性規划問題
這是求最大值問題，要先將問題化為求解最小值的問題，再進行求解.
利用linprog命令求解上述問題的代碼如下
f = [-2;-3;5];
A = [-2 5 -1];b= [-10];
Aeq = [1 11];beq = [7];
lb = [0;0;0];
[x,feval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
利用optimtool工具箱來求解過程如下圖
可以驗證，兩種求解方法的結果是相同的.最后取最優值為圖中顯示的最優值的相反數.
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2.非線性規划
也有兩種求解的方法，一種是fmincon命令，另一種是optimtool工具箱.
①fmincon命令
fmincon命令的一般參數形式為fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlinearcondition’)，其中各個參數含義如下
fun 目標函數(以求最小值為目標函數)
x0 最優解迭代的初始值
A,b 線性約束不等式A*x<= b
Aeq,beq 線性約束等式Aeq*x =beq
lb,ub 自變量的上下界
nonlinearcondition 非線性約束函數，它有兩個返回值，其中一個為非線性不等式約
束，另一個是非線性等式約束(具體舉例說明該項參數的設置)
在具體編寫代碼過程中，可以將線性約束也寫在非線性約束函數nonlinearcondition中，簡化代碼.
例1，求下面這個非線性規划問題的最優值
首先，編寫目標函數的M函數文件，並保存為fun.m代碼如下
function f =fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + 8;
end
其次，編寫線性和非線性約束的等式或不等式，編寫M函數文件，並保存為nonlinearcondition.m，代碼如下
function [f,ceq] = nonlinearcondition(x)
f = - x(1)^2 + x(2);
ceq = - x(1) - x(2)^2 + 2; %非線性等式約束
end
最后，在Command窗口輸入如下代碼
[x,fval] =fmincon('fun',[0;0],[],[],[],[],[0;0],[],'nonlinearcondition')
即可得到最優值和最優解為x = [1;1]，fval = 10.
例2，求下面這個非線性規划問題的最優值
首先，編寫目標函數的M函數文件，由於求得是最大值，所以先化為求最小值問題，再原目標函數前面添加負號即可，M函數文件如下，保存為fun.m.
function f =fun(x)
f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));
end
然后，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函數文件，保存為nonlinearcondition.m，代碼如下
function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)
%非線性和線性不等式有4個
f(1) =x(1) - 400;
f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;
f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;
f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;
ceq = 0;%由於沒有非線性約束等式，所以這一項寫 0
end
最后，在Command窗口輸入如下代碼
[x,fval] =fmincon('fun',[0;0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0;0],[],'nonlinearcondition')
即可得到最優解和最優值，最優值分別為
x =
86.1883
104.2879
126.1883
152.6879
fval = -43.0860
目標函數最優值為z = -fval=43.0860.
由於線性問題也可以看做是非線性問題的特殊情況，所以可用求解非線性問題的方法求解線性規划問題.
例3，利用fmincon命令求解1.①中的線性規划問題
首先，編寫目標函數的M函數文件，M函數文件如下，保存為fun.m.
function f =fun(x)
f = -5*x(1) - 4*x(2) - 6*x(3);
end
然后，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函數文件，保存為nonlinearcondition.m，代碼如下
function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)
%由於有3個線性約束，所以f返回一個三維向量
f(1) =x(1) - x(2) + x(3) - 20;
f(2) =3*x(1) + 2*x(2) + 4*x(3) - 42;
f(3) =3*x(1) + 2*x(2) - 30;
ceq = 0;%沒有非線性等式
end
最后，在Command窗口輸入如下代碼
[x,fval] =fmincon('fun',[0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0],[],'nonlinearcondition')
得到的結果與1.線性規划問題的1.①中所用的線性方法所得結果相同.
②optimtool工具箱
同樣，非線性規划也可以利用optimtool工具箱，因為其中有一項是填寫非線性約束條件的，如下
利用工具箱求解在2.①中的一個問題
首先，編寫目標函數的M函數文件，由於求得是最大值，所以先化為求最小值問題，再原目標函數前面添加負號即可，M函數文件如下，保存為fun.m.
function f =fun(x)
f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));
end
然后，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函數文件，保存為nonlinearcondition.m，代碼如下
function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)
%非線性和線性不等式有4個
f(1) =x(1) - 400;
f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;
f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;
f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;
ceq = 0;%由於沒有非線性約束等式，所以這一項寫 0
end
在optimtool工具箱中輸入相應參數，如下，即可得到相應結果
所得結果與利用fmincon命令所得結果相同.
小結
規划問題中還有特殊的一些問題，例如特殊的線性規划問題——0-1規划，特殊的非線性規問題——二次規划問題，而線性規划問題又是特殊的非線性規划問題，所以這幾種規划問題都可以用【非線性規划問題】求解.
參考文獻
[1] 卓金武, 魏永生, 秦健, 李必文. MATLAB在數學建模中的應用[M]. 北京: 北京航空航天大學 2011: 18-24