三次Bezier曲線算法
Bezier曲線的定義
- 給定\(n+1\)個控制點\(p_i(i=0,1,2,...,n)\)，則\(n\)次Bezier曲線定義為：
\[p(t)=\sum_{i=1}^np_iB_{i,n}(t), t\in[0,1] \]
Bernstein基函數，其表達式為：
\[B_{i,n}=\frac{n!}{i!(n-i)!}t^i(1-t)^{n-i}=C^i_nt^i(1-t)^{n-i},(i=0,1,2,...,n) \]
- 四個控制點就是3次Bezier曲線
- 工程中一般使用2次、3次Bezier曲線，高次Bezier曲線較少使用。
一次Bezier曲線
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
二次Bezier曲線
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t^2 & t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
三次Bezier曲線
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
Casteljau遞推算法
- 主要是為了方便程序計算，將矩陣運算寫為了遞推運算，是一種工程化處理