雙三次Bezier曲面
定義
- 雙三次Bezier曲面由u，v方向的兩組三次Bezier曲線交織而成，控制網格由16和控制點構成。
\[p(u,v)= \left[\begin{matrix} u^3 & u^2 & u & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} P_{0,0} &P_{0,1} & P_{0,2} & P_{0,3}\\ P_{1,0} & P_{1,1} & P_{1,2} & P_{1,3} \\ P_{2,0} & P_{2,1} & P_{2,2} & P_{2,3} \\ P_{3,0} & P_{3,1} &P_{3,2} & P_{3,3} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u^3\\ u^2 \\ u \\ 1 \end{matrix}\right] \]
- 簡寫為
\[P(u,v)=UMPM^TV^T \]
遞歸細分
- 采用四叉樹遞歸划分法細分曲面
曲面片的法向量
- 曲面上一個細分點的\(u\)方向切向量為\(p_u\)，\(v\)方向上的切向量為\(p_v\)：
\[p_u=\frac{\partial p(u,v)}{\partial u}, p_v=\frac{\partial p(u,v)}{\partial v} \]
細分點在面上的法向量為：
\[N=\frac{\partial p(u,v)}{\partial v}\times \frac{\partial p(u,v)}{\partial v} \]
- 雙三次曲面上法向量：
\[ p^`_u(u,v)= \left[\begin{matrix} 3u^2 & 2u & 1 &0 \end{matrix}\right]MPM^TV^T \]
\[ p^`_v(u,v)=UMPM^T \left[\begin{matrix} 3u^2 & 2u & 1 &0 \end{matrix}\right]^T \]
\[N=p^`_u(u,v)\times p^`_v(u,v) \]