前言
圖像處理中有三種常用的插值算法：
-
最鄰近插值
-
雙線性插值
-
雙立方（三次卷積）插值
其中效果最好的是雙立方（三次卷積）插值，本文介紹它的原理以及使用
如果想先看效果和源碼，可以拉到最底部
本文的契機是某次基於canvas做圖像處理時，發現canvas自帶的縮放功能不盡人意，於是重溫了下幾種圖像插值算法，並整理出來。
為何要進行雙立方插值
-
對圖像進行插值的目的是為了獲取縮小或放大后的圖片
-
常用的插值算法中，雙立方插值效果最好
-
本文中介紹雙立方插值的一些數學理論以及實現
雙立方和三次卷積只是這個插值算法的兩種不同叫法而已，可以自行推導，會發現最終可以將求值轉化為卷積公式
另外，像Photoshop等圖像處理軟件中也有這三種算法的實現
數學理論
雙立方插值計算涉及到16個像素點，如下圖
簡單分析如下：
-
其中
P00代表目標插值圖中的某像素點(x, y)在原圖中最接近的映射點- 譬如映射到原圖中的坐標為
(1.1, 1.1)，那么P00就是(1, 1)
- 譬如映射到原圖中的坐標為
-
而最終插值后的圖像中的
(x, y)處的值即為以上16個像素點的權重卷積之和
下圖進一步分析
如下是對圖的一些簡單分析
-
譬如計算插值圖中
(distI, distJ)處像素的值 -
首先計算它映射到原圖中的坐標
(i + v, j + u) -
也就是說，卷積計算時，
p00點對應(i, j)坐標 -
最終，
插值后的圖中(distI, distJ)坐標點對應的值是原圖中(i, j)處鄰近16個像素點的權重卷積之和i, j的范圍是[i - 1, i + 2]，[j - 1, j + 2]
卷積公式
-
設采樣公式為
S(x) -
原圖中每一個
(i, j)坐標點的值得表達式為f(i, j) -
插值后對應坐標的值為
F(i + v, j + u)（這個值會作為(distI, distJ)坐標點的值）
那么公式為：
等價於(可自行推導)
提示
一定要區分本文中v, u和row, col的對應關系，v代表行數偏差，u代表列數偏差（如果混淆了，會造成最終的圖像偏差很大）
如何理解卷積？
這是大學數學內容，推薦看看這個答案如何通俗易懂的解釋卷積-知乎
采樣公式
在卷積公式中有一個S(x)，它就是關鍵的卷積插值公式
不同的公式，插值效果會有所差異（會導致加權值不一樣）
本文中采用WIKI-Bicubic interpolation中給出的插值公式：
公式中的特點是：
-
S(0) = 1 -
S(n) = 0(當n為整數時) -
當x超出范圍時，S(x)為0 -
當
a取不同值時可以用來逼近不同的樣條函數（常用值-0.5, -0.75）
當a取值為-1
公式如下：
此時，逼近的函數是y = sin(x*PI)/(x*PI)，如圖
當a取值為-0.5
公式如下：
此時對應三次Hermite樣條
不同a的簡單對比
推導
可參考：
關於網上的一些推導公式奇怪實現
在網上查找了不少相關資料，發現有不少文章中都用到了以下這個奇怪的公式（譬如百度搜索雙立方插值）
一般這些文章中都聲稱這個公式是用來近似y = sin(x*PI)/(x)
但事實上，進過驗證，它與y = sin(x*PI)/(x)相差甚遠（如上圖中是將sin函數縮放到合理系數后比對）
由於類似的文章較多，年代都比較久遠，無從得知最初的來源
可能是某文中漏掉了分母的PI，亦或是這個公式只是某文自己實現的一個采樣公式，與sin無關，然后被誤傳了。
這里都無從考據，僅此記錄，避免疑惑。
另一種基於系數的實現
可以參考：圖像處理（一）bicubic解釋推導
像這類的實現就是直接計算最原始的系數，然后通過16個像素點計算不同系數值，最終計算出目標像素
本質是一樣的，只不過是沒有基於最終的卷積方程計算而已（也就是說在原始理論階段沒有推成插值公式，而是直接解出系數並計算）。
代碼實現在github項目中可看到，參考最后的開源項目
代碼實現
以下是JavaScript代碼實現的插值核心方程
/**
* 采樣公式的常數A取值,調整銳化與模糊
* -0.5 三次Hermite樣條
* -0.75 常用值之一
* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)
* -2 常用值之一
*/
const A = -0.5;
function interpolationCalculate(x) {
const absX = x > 0 ? x : -x;
const x2 = x * x;
const x3 = absX * x2;
if (absX <= 1) {
return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;
} else if (absX <= 2) {
return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;
}
return 0;
}
以上是卷積方程的核心實現。下面則是一套完整的實現
/**
* 采樣公式的常數A取值,調整銳化與模糊
* -0.5 三次Hermite樣條
* -0.75 常用值之一
* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)
* -2 常用值之一
*/
const A = -1;
function interpolationCalculate(x) {
const absX = x >= 0 ? x : -x;
const x2 = x * x;
const x3 = absX * x2;
if (absX <= 1) {
return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;
} else if (absX <= 2) {
return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;
}
return 0;
}
function getPixelValue(pixelValue) {
let newPixelValue = pixelValue;
newPixelValue = Math.min(255, newPixelValue);
newPixelValue = Math.max(0, newPixelValue);
return newPixelValue;
}
/**
* 獲取某行某列的像素對於的rgba值
* @param {Object} data 圖像數據
* @param {Number} srcWidth 寬度
* @param {Number} srcHeight 高度
* @param {Number} row 目標像素的行
* @param {Number} col 目標像素的列
*/
function getRGBAValue(data, srcWidth, srcHeight, row, col) {
let newRow = row;
let newCol = col;
if (newRow >= srcHeight) {
newRow = srcHeight - 1;
} else if (newRow < 0) {
newRow = 0;
}
if (newCol >= srcWidth) {
newCol = srcWidth - 1;
} else if (newCol < 0) {
newCol = 0;
}
let newIndex = (newRow * srcWidth) + newCol;
newIndex *= 4;
return [
data[newIndex + 0],
data[newIndex + 1],
data[newIndex + 2],
data[newIndex + 3],
];
}
function scale(data, width, height, newData, newWidth, newHeight) {
const dstData = newData;
// 計算壓縮后的縮放比
const scaleW = newWidth / width;
const scaleH = newHeight / height;
const filter = (dstCol, dstRow) => {
// 源圖像中的坐標（可能是一個浮點）
const srcCol = Math.min(width - 1, dstCol / scaleW);
const srcRow = Math.min(height - 1, dstRow / scaleH);
const intCol = Math.floor(srcCol);
const intRow = Math.floor(srcRow);
// 計算u和v
const u = srcCol - intCol;
const v = srcRow - intRow;
// 真實的index，因為數組是一維的
let dstI = (dstRow * newWidth) + dstCol;
dstI *= 4;
// 存儲灰度值的權重卷積和
const rgbaData = [0, 0, 0, 0];
// 根據數學推導，16個點的f1*f2加起來是趨近於1的（可能會有浮點誤差）
// 因此就不再單獨先加權值，再除了
// 16個鄰近點
for (let m = -1; m <= 2; m += 1) {
for (let n = -1; n <= 2; n += 1) {
const rgba = getRGBAValue(
data,
width,
height,
intRow + m,
intCol + n,
);
// 一定要正確區分 m,n和u,v對應的關系，否則會造成圖像嚴重偏差（譬如出現噪點等）
// F(row + m, col + n)S(m - v)S(n - u)
const f1 = interpolationCalculate(m - v);
const f2 = interpolationCalculate(n - u);
const weight = f1 * f2;
rgbaData[0] += rgba[0] * weight;
rgbaData[1] += rgba[1] * weight;
rgbaData[2] += rgba[2] * weight;
rgbaData[3] += rgba[3] * weight;
}
}
dstData[dstI + 0] = getPixelValue(rgbaData[0]);
dstData[dstI + 1] = getPixelValue(rgbaData[1]);
dstData[dstI + 2] = getPixelValue(rgbaData[2]);
dstData[dstI + 3] = getPixelValue(rgbaData[3]);
};
// 區塊
for (let col = 0; col < newWidth; col += 1) {
for (let row = 0; row < newHeight; row += 1) {
filter(col, row);
}
}
}
export default function bicubicInterpolation(imgData, newImgData) {
scale(imgData.data,
imgData.width,
imgData.height,
newImgData.data,
newImgData.width,
newImgData.height);
return newImgData;
}
運行效果
分別用三種算法對一個圖進行放大，可以明顯的看出雙立方插值效果最好
最臨近插值
雙線性插值
雙立方（三次卷積）插值
開源項目
這個項目里用JS實現了幾種插值算法，包括（最鄰近值，雙線性，三次卷積-包括兩種不同實現等）
https://github.com/dailc/image-process