三次Bezier曲线算法
Bezier曲线的定义
- 给定\(n+1\)个控制点\(p_i(i=0,1,2,...,n)\)，则\(n\)次Bezier曲线定义为：
\[p(t)=\sum_{i=1}^np_iB_{i,n}(t), t\in[0,1] \]
Bernstein基函数，其表达式为：
\[B_{i,n}=\frac{n!}{i!(n-i)!}t^i(1-t)^{n-i}=C^i_nt^i(1-t)^{n-i},(i=0,1,2,...,n) \]
- 四个控制点就是3次Bezier曲线
- 工程中一般使用2次、3次Bezier曲线，高次Bezier曲线较少使用。
一次Bezier曲线
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
二次Bezier曲线
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t^2 & t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
三次Bezier曲线
\[ p(t)= \left[\begin{matrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix}\right] ,t\in[0,1] \]
Casteljau递推算法
- 主要是为了方便程序计算，将矩阵运算写为了递推运算，是一种工程化处理