前言
假設我們已經會了歐幾里得算法
而且，真真真真的是淺談
基本形式
\[ax+by=\gcd(a,b) \]
\[a, b\in \mathbb{N}^* \]
擴展歐幾里得 (Exgcd) 則是求解以上方程的整數解
求特解
觀察基本形式 \(ax+by=\gcd(a,b)\)
並考慮歐幾里得算法的結束條件 \(a=gcd, b=0\)
則最終狀態是 \(x=1, y=0\)
繼續分析條件
\[\because \gcd(a, b)=\gcd(b, a \% b) \]
\[\therefore bx'+(a\% b)y'=\gcd(b, a\% b) \]
假設我們已經求解了
\[bx'+(a\% b)y'=\gcd(b, a\% b) \]
並且要求出他的上一狀態
\[ax+by=\gcd(a,b) \]
我們知道
\[a\% b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b \]
所以
\[\begin{array}{lcl} \begin{aligned} \gcd(a, b) & = bx'+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)y' \\ & = bx'+ay'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by' \\ & = ay'+(x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y')b \\ \end{aligned} \\ \because ax+by=\gcd(a, b) \\ \therefore x=y',\ y=x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y' \end{array} \]
最后遞歸求解即可
根據特解求通解
以下式為例，並假設有解，即 \(\gcd(a, b) | c\)
\[ax+by=c \]
我們已知一組 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的特解，記為 \(x_0, y_0\)
則有
\[\begin{array}{rcl} ax_0+by_0&=&\gcd(a,b)\\ a\frac{x_0c}{\gcd(a,b)}+b\frac{y_0c}{\gcd(a,b)}&=&c\\ \end{array} \]
於是我們找到了原方程的一組特解，記為 \(x_1\) 和 \(y_1\)
\[x_1=\frac{x_0c}{\gcd(a,b)},\ y_1=\frac{y_0c}{\gcd(a,b)} \]
於是我們設任意 \(d\in \mathbb{Q}\)，那么一定有
\[a(x_1+db)+b(y_1-da)=c \]
且 \(x_1+db\) 與 \(y_1-da\) 必須為整數
又因為 \(x_1,\ y_1\) 為整數，所以我們只需要保證 \(db, da\in \mathbb{Z}\)
令當 \(d\) 取到最小的可能的正值時的 \(d_x=db, d_y=da\)，那么任意解中這兩個變量與 \(x_1,\ y_1\) 的偏差一定分別為 \(d_x\) 與 \(d_y\) 的倍數
那么顯然最小 \(d=\frac{1}{\gcd(a, b)}\) ，所以 \(d_x=\frac{b}{\gcd(a, b)},\ d_y=\frac{a}{\gcd(a, b)}\)
於是通解形式為
\[\begin{array}{rcl} x&=&x_1+kd_x\\ y&=&y_1-kd_y \end{array} \]
其中，\(k\) 是任意整數
例題
P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
以上我們已經求出通解形式，於是分類討論即可（注意細節）
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define fore(i,now) for(reg int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
#define fora(i,a,b,c) for(reg int i=a;i<=b;i+=c)
#define forb(i,a,b,c) for(reg int i=a;i>=b;i-=c)
#define uLL unsigned LL
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define reg register
#define R read()
inline LL read(){
LL s=0, f=1; char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-f; c=getchar(); }
while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48), c=getchar();
return s*f;
}
LL Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if(b==0) { x=1, y=0; return a; }
LL g=Exgcd(b, a%b, x, y);
LL t=x; x=y, y=t-(a/b)*y;
return g;
}
int main(){
int T=R; while(T-->0){
LL a=R, b=R, c=R, x, y, k;
LL g=Exgcd(a, b, x, y);
/* 判斷有無解 */
if(c%g) { puts("-1"); continue; }
/* 求 x1 及 y1 */
x*=c/g, y*=c/g;
/* q, p 同 dx, dy */
LL q=b/g, p=a/g;
/* 將 x 調整為最小正整數解 */
if(x<=0) k=ceil((1.0-x)/q), x+=k*q, y-=k*p;
else k=(x-1)/q, x-=k*q, y+=k*p;
/* 判斷有無正整數解 */
if(y>0)
/* 根據詢問回答即可, (y-1)%p+1 是為了使 y 是正整數 */
printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", (y-1)/p+1, x, (y-1)%p+1, x+(y-1)/p*q, y);
else
printf("%lld %lld\n", x, y+(LL)ceil((1.0-y)/p)*p);
}
return 0;
}