exgcd

什么是exgcd

exgcd是用來求解不定方程、逆元等問題的工具

可以求解方程$$ax+by=gcd(a,b)$$並返回gcd值

代碼

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
	if(b == 0){
    	x = 1; y = 0; //ax = gcd(a, 0) = a
        return a;
    }
    int result = exgcd(b, a%b, x, y);
    int tp = x;
    x = y;
    y = tp - a/b*y; //見說明
    return result; //gcd
}

說明

\(x,y\)的求值方法

• 設\(a'=b,b'=a\) % \(b\)
• \(a'x+b'y=gcd(a',b')\)
• 根據一般\(gcd\)的方法可知\(gcd(a,b)=gcd(a',b')\)
• \(\therefore\) \(a'x+b'y=gcd(a,b)\)
• \(bx+(a\)%\(b)y=gcd(a,b)\)
• \(\because a\)%\(b=a-\lfloor a\div b\rfloor \times b\) (用計算機語言表示為a-a/b*b)(以下下取整除用\(/\)表達)
• \(\therefore bx+(a- a / b \times b)y=gcd(a,b)\)
• \(\therefore\)提取\(-a / b \times by\) 得

• \[b(a/b \times y) + ay= gcd(a,b) \]

因此對應原來x, y的就是y, x-a/b*y

功能

1. 解形如\(ax+by=c\)的不定方程

可以直接通過exgcd的本來含義轉化
原: 求\(ax+by=gcd(a,b)\)

當\(c\)可以被\(gcd(a, b)\)整除時，則此方程有整數解，設\({m}={{c}\over{gcd(a,b)}}\)，則可以得一組特解\(mp,mq\) ( \(p,q\)為exgcd(a,b,p,q)的值)，設\(gcd(a,b) = g\)

在解\(mp,mq\)成立的情況下，解\(mp+b,mq-a\)也成立，所以可以通過取模的方法求出\(x\)或\(y\)的最小值，\(x\)的最小值為\(mp\)%\(b \over g\)，\(y\)的最小值為\(mq\)%\(a \over g\)

注意，在實際使用中，exgcd並不能處理\(a,b\)是負數的情況，當\(a,b\)是負數時，一般根據題意采取等價的取相反數做法

在實際的取模中，最好加上多倍的模數，避免負數