upd 12.6：修復了一個偽證的地方（）
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) return x = 1, y = 0, a;
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
return y -= a / b * x, d;
}
以前我寫 int 的 exgcd，總是怕爆 int 而 #define int long long，因為看上去沒有任何證據說明 exgcd 得到的特解絕對值不會很大。以及如果系數是 long long 的話，那甚至不確定要不要開 __int128_t。
事實上，我們可以證明 \(ax + by = \gcd(a, b) = d\) 由 exgcd 解出的特解保證了 \(x\) 絕對值最小。以下設 \(a' = \dfrac a d, b' = \dfrac b d\)。
- 當 \(b = 0\) 時 \(x = 1, y = 0\) 顯然滿足條件。
- 否則，\(x\) 為所有解中絕對值最小的顯然當且僅當 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b'|\)。考慮歸納：\(b \mid a\) 是遞歸的倒數第二層，當作邊界驗證，解為 \(x = 0, y = 1\)，此時 \(|x| = 0\) 顯然滿足條件。對於 \(b \nmid a\)，按照 exgcd 的代碼遞歸到了 \(by_0 + (a \bmod b)x_0 = d\)，得到了使得 \(|y_0|\) 最小的解，有 \(|y_0| \leq \dfrac 1 2 \left|\dfrac{a \bmod b} d\right|\)；而 \(x\) 是直接繼承 \(x_0\) 的，所以有 \(x = x_0 = \dfrac{d - by_0}{a \bmod b}\)，那么顯然 \(|x| \leq \left|\dfrac d{a \bmod b}\right| + \left|\dfrac{b \cdot \frac 1{2d}(a \bmod b)}{a \bmod b}\right| \leq \left|\dfrac d{a \bmod b}\right| + \left|\dfrac 1 2 b'\right|\)。由於 \(\gcd(a \bmod b, a) = d\)（且 \(a \bmod b \neq 0\)），必定有 \(a \bmod b \geq d\)，於是 \(\left|\dfrac d{a \bmod b}\right| \leq 1\)。此時如果有 \(\mathrm{LHS} < \dfrac 1 2\) 就直接證畢了好吧。由於 \(d \mid a \bmod b\)，現在只要稍微考慮一下 \(=\dfrac 1 2\) 和 \(=1\) 的情況。
- \(\mathrm{LHS} = 1\)，也就是 \(|d| = |a \bmod b|\)，這顯然是倒數第三輪遞歸，手動模擬得到 \(x = 1\)，而不可能有 \(b' = 0\)（這樣一定有 \(b = 0\)，這是最后一層）或 \(b' = \pm1\)（\(|b| = |d| = |a \bmod b|\)，與 \(|a \bmod b| < |b|\) 矛盾），所以 \(|b'| \geq 2\)，也得到 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b'|\)。
- \(\mathrm{LHS} = \dfrac 1 2\)，那么 \(|d| = \dfrac 1 2 |a \bmod b|\)，即 \(|a \bmod b| = 2|d|\)。從 \(a, b\) 往下手動模擬 exgcd（絕對值相等視為相等）：\(a, b\to b, 2d\)，下一步需要考慮 \(b \bmod 2d\) 等於多少。顯然只可能等於 \(0\) 或 \(d\)，如果等於 \(0\) 的話就有 \(\gcd(a, b) = 2d\) 了，矛盾，所以只可能等於 \(d\)。於是 \(\to 2d, d \to d, 0\)，發現這是倒數第四輪。手動模擬得到 \(|x| = \left\lfloor\left|\dfrac{b}{2d}\right|\right\rfloor\)，這不完美了嗎，直接證畢了。
那么 \(y\) 的情況呢？注意到當 \(a = b\) 時，exgcd 得到解為 \(x = 0, y = 1\)，不用愁；而 \(a \neq b\) 時，解 \(ax + by = d\) 和 \(by + ax = d\) 中恰好有一個的第一步是 swap(a, b)，這使得兩者解得的 \((x, y)\) 相等，所以在 \(|x|\) 取得最小的同時，\(|y|\) 也取得最小。這意味着（除了 \(a\) 或 \(b\) 等於 \(0\) 或者 \(a = b\) 的極端情況）同時有 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b|, |y| \leq \dfrac 1 2 |a|\)，這樣不開 long long 都不帶怕的。