exgcd詳解

1.exgcd是什么？

exgcd大名擴展歐幾里得算法，用來求形如 \(\gcd(a,b) = ax + by\) 的方程的通解。

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2.推導

引理：存在 \(x,y\in \mathbb Z\) 使得 \(\gcd(a,b) = ax + by\)（裴蜀定理，請自行百度）

當 \(b=0\) 時，\(\gcd(a,b)=a\)，此時 \(x_1=1\)， \(y_1=0\)

當 \(b\not=0\) 時，

由題，\(ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=bx_2+(a\bmod b)y_2 ①\)

又因 \(a\bmod b=a-\lfloor \dfrac{a}{b}\rfloor b\)

則 \(ax+by=bx_2+(a-a\lfloor \dfrac{a}{b}\rfloor b)y_2\)

\(ax+by=bx_2+ay_2-\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor by_2\)

\(ax+by=ay_2+bx_2-b\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor y_2\)

\(ax+by=ay_2+b(x_2-\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor y_2) ②\)

將 \(②\) 式對比 \(①\) 式，得出：

方程 \(\gcd(a,b) = ax + by\) 的通解為 \(x=y_2\) ， \(y=x_2-\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor y_2\)

//公式是我一個字一個字手敲的，要敲斷了……

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3.代碼實現

void exgcd(int &x,int &y,int a,int b)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(x,y,b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}