exgcd

什么是exgcd

exgcd是用来求解不定方程、逆元等问题的工具

可以求解方程$$ax+by=gcd(a,b)$$并返回gcd值

代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
	if(b == 0){
    	x = 1; y = 0; //ax = gcd(a, 0) = a
        return a;
    }
    int result = exgcd(b, a%b, x, y);
    int tp = x;
    x = y;
    y = tp - a/b*y; //见说明
    return result; //gcd
}

说明

\(x,y\)的求值方法

• 设\(a'=b,b'=a\) % \(b\)
• \(a'x+b'y=gcd(a',b')\)
• 根据一般\(gcd\)的方法可知\(gcd(a,b)=gcd(a',b')\)
• \(\therefore\) \(a'x+b'y=gcd(a,b)\)
• \(bx+(a\)%\(b)y=gcd(a,b)\)
• \(\because a\)%\(b=a-\lfloor a\div b\rfloor \times b\) (用计算机语言表示为a-a/b*b)(以下下取整除用\(/\)表达)
• \(\therefore bx+(a- a / b \times b)y=gcd(a,b)\)
• \(\therefore\)提取\(-a / b \times by\) 得

• \[b(a/b \times y) + ay= gcd(a,b) \]

因此对应原来x, y的就是y, x-a/b*y

功能

1. 解形如\(ax+by=c\)的不定方程

可以直接通过exgcd的本来含义转化
原: 求\(ax+by=gcd(a,b)\)

当\(c\)可以被\(gcd(a, b)\)整除时，则此方程有整数解，设\({m}={{c}\over{gcd(a,b)}}\)，则可以得一组特解\(mp,mq\) ( \(p,q\)为exgcd(a,b,p,q)的值)，设\(gcd(a,b) = g\)

在解\(mp,mq\)成立的情况下，解\(mp+b,mq-a\)也成立，所以可以通过取模的方法求出\(x\)或\(y\)的最小值，\(x\)的最小值为\(mp\)%\(b \over g\)，\(y\)的最小值为\(mq\)%\(a \over g\)

注意，在实际使用中，exgcd并不能处理\(a,b\)是负数的情况，当\(a,b\)是负数时，一般根据题意采取等价的取相反数做法

在实际的取模中，最好加上多倍的模数，避免负数