1、最優化問題建模
最優化問題的三要素是決策變量、目標函數和約束條件。
（1）分析影響結果的因素是什么，確定決策變量
（2）決策變量與優化目標的關系是什么，確定目標函數
（3）決策變量所受的限制條件是什么，確定約束條件
最優化問題的建模，通常按照以下步驟進行：
（1）問題定義，確定決策變量、目標函數和約束條件；
（2）模型構建，由問題描述建立數學方程，並轉化為標准形式的數學模型；
（3）模型求解，用標准模型的優化算法對模型求解，得到優化結果；
（4）模型檢驗，統計檢驗和靈敏度分析。
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2、線性規划
線性規划（Linear programming），是研究線性約束條件下線性目標函數的極值問題的優化方法，常用於解決利用現有的資源得到最優決策的問題。
線性規划模型的一般形式如下：
min fx = c1*x1 + ...+ cn*xn
s.t. a11*x1+...+a1n*Xn ≤ b1
...
am1*x1+...+amn*Xn ≤ bm
x1≥0,...,xn≥0
其中：fx 是目標函數，求最小值；x1,...xn 是決策變量；aij, bi 是不等式約束的參數。
3、Scipy 求解線性規划
Python 的 SciPy 庫帶有用於解決線性編程問題的 linprog 函數。
linporg 函數對於線性規划模型的描述為：
min fx = C'*X fx 是目標函數
s.t. A_ub*X <= B_ub 不等式約束
A_eq*X = B_eq 等式約束
lb <= X <= ub 取值范圍
其中：
fx 是目標函數，求最小值；
X 是決策變量，向量；
C 是目標函數的參數向量；
A_ub 是不等式約束的參數矩陣，B_ub 是不等式約束的參數向量；
A_eq 是等式約束的參數矩陣，B_eq 是等式約束的參數向量；
lb,ub 是參數向量，(lb,ub) 是 X 的取值范圍。
注意：
（1）問題表示為：求 fx 的最小值，如果問題要求 fx 的最大值則要通過 fx‘= -fx 將問題轉化為求 fx' 的最小值；
（2）不等式約束條件表示為：小於等於，如果約束條件為大於等於則要通過不等式兩側乘以 -1 將約束條件轉化為小於等於的形式。
linporg 函數求解線性規划問題的輸出參數為：
con: 等式約束的殘差（名義上為 0），B_eq - A_eqX
fun: 目標函數的當前值（最小值），C'X
message: 算法狀態描述
nit: 當前迭代次數
slack: 不等式約束的松弛值，B_ub - A_ubX
status: 算法退出時的狀態，0：優化完成，1：達到最大迭代次數，2：不可行，3：不收斂，4：數值困難
success: 當算法成功完成時為 True
x: 當前解，向量
4 實例
4.1 問題模型：
max fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
s.t. x1 + x2 + x3 = 7
2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
x1 + 3*x2 + x3 <= 12
x1, x2, x3 >=0
4.2 模型轉換：
首先要將求解問題的模型轉化為 Linprog 的標准形式：
（1）求最大值問題要轉換為求最小值問題：C = [-2, 3, 5]
（2）當約束條件為 大於等於 時要加負號：A_ub = [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]
（3）由 x1,x2,x3>=0 和 x1+x2+x3=7 可知：0 <= x1,x2,x3 <= 7
4.3 python 程序：
import numpy as np # 導入 numpy
from scipy.optimize import linprog # 導入 scipy
c = np.array([-2, -3, 5])
A_ub = np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]) # 不等式約束參數矩陣
B_ub = np.array([-10, 12]) # 不等式約束參數向量
A_eq = np.array([[1, 1, 1]]) # 等式約束參數矩陣
B_eq = np.array([7]) # 等式約束參數向量
x1 = (0, 7) # x1 的取值范圍，lb1 < x1 < ub1
x2 = (0, 7) # x2 的取值范圍，lb2 < x2 < ub2
x3 = (0, 7) # x3 的取值范圍，lb3 < x3 < ub3
res = linprog(c, A_ub, B_ub, A_eq, B_eq, bounds=(x1, x2, x3))
print(res)
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4.4 運行結果：
con: array([1.19830306e-08])
fun: -14.57142854231215
message: 'Optimization terminated successfully.'
nit: 5
slack: array([-3.70231543e-08, 3.85714287e+00])
status: 0
success: True
x: array([6.42857141e+00, 5.71428573e-01, 9.82192085e-10])
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Crated：2021-04-28
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