線性規划的對偶問題
Tags：數學
對偶問題
\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
引用這個博客里的例子：Blog
某工廠有兩種原料A、B，而且能用其生產兩種產品：
1、生產第一種產品需要2個A和4個B，能夠獲利6；
2、生產第二種產品需要3個A和2個B，能夠獲利4；
此時共有100個A和120個B，問該工廠最多獲利多少？
用數學表達式描述如下：
已知：
\(2×X1+3×X2≤100\)
\(4×X1+2×X2≤120\)
求：
\(6×X1+4×X2\)的最大值
畫出來是這樣：
手動二分得，\(X1=X2=20\)時最大為\(200\)
工廠除了拿原料生產成產品賣掉這條出路外，還有一種方法是直接將原料賣掉。但是要求把原料賣掉賺的錢比生產成產品賺的錢多。那么最低可以接受多少的價格呢？假設資源A和B的單價分別為：Y1和Y2，那么可以用數學表達式描述如下：
已知：
\(2×Y1+4×Y2≥6\)
\(3×Y1+2×Y2≥4\)
求：
\(100×Y1+120×Y2\)的最小值
畫出來是這樣子
手動二分得最小值是\(200\)
再來看看這個式子
\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
PS：\(A^T\)表示矩陣的轉秩，也就是沿對角線翻折。小寫字母都是列向量。
\(c\)：每種成品的收益
\(x\)：每種成品生產多少個
\(A\)：生產每種成品所需要的原料數
\(b\)：每種原料的總個數
\(y\)：直接賣原料、每種原料的價格
大概能夠理解了？
關於對偶問題的性質
- 對偶問題的對偶問題是原問題
- 兩問題的最優解相等
- 兩問題的可行解，顯然對於上式左邊要小於等於右式