Python數模筆記-PuLP庫（2）線性規划進階

1、基於字典的創建規划問題

　　上篇中介紹了使用 LpVariable 對逐一定義每個決策變量，設定名稱、類型和上下界，類似地對約束條件也需要逐一設置模型參數。在大規模的規划問題中，這樣逐個定義變量和設置模型參數非常繁瑣，效率很低。Pulp 庫提供了一種快捷方式，可以結合 Python語言的循環和容器，使用字典來創建問題。
　　（1）使用快捷方法建立一個規划問題，可以用字典類型（dict） 建立多個變量，例如：

　　name = ['廢料1', '廢料2', '廢料3', '廢料4', '鎳', '鉻', '鉬']
　　# A dictionary of the costs of each of the Ingredients is created
　　mass = pulp.LpVariable.dicts("原料", material, lowBound=0, cat='Continuous')

　　（2）使用字典類型（dict） 設置目標函數和約束條件的參數，例如：

　　cost = {
　　　　　　'廢料1': 16,
　　　　　　'廢料2': 10,
　　　　　　'廢料3': 8,
　　　　　　'廢料4': 9,
　　　　　　'鎳': 48,
　　　　　　'鉻': 60,
　　　　　　'鉬': 53}

　　（3）使用 遍歷循環結構 設置目標函數和約束條件，例如：

　　AlloyModel += pulp.lpSum([cost[item] * mass[item] for item in material]), "總生產成本"
　　AlloyModel += pulp.lpSum([mass[item] for item in material]) == 1000, "質量約束"

　　詳細用法參見下節例程。

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2、線性規划問題案例

　　本篇以合金鋼材生產投料問題為例，分析基於列表和字典創建問題的快捷方法。

問題描述：
　　某鋼鐵廠通過熔煉回收的金屬廢料並添加一定新料的方法生產滿足化學成分要求的合金，計划生產1000千克的合金。
　　所有金屬廢料的主要成分是鐵，不同金屬廢料還含有各種微量元素。
　　金屬廢料、新料的各組分含量占比、可用數量和單位成本如下表所示。生成合金中各組分的含量要求，也如表中所示。
　　問如何安排投料比例，在滿足合金組分含量要求的條件下的材料成本最小？

材料	碳	鎳	鉻	鉬	可用量	成本
廢料1	0.80	18.0	12.0	0.0	75	16
廢料2	0.70	3.2	1.1	0.1	250	10
廢料3	0.85	0	0	0	不限	8
廢料4	0.40	0	0	0	不限	9
鎳	0	100	0	0	不限	48
鉻	0	0	100	0	不限	60
鉬	0	0	0	100	不限	53
合金下限	0.65	3.0	1.0	1.1	/	/
合金上限	0.75	3.5	1.2	1.3	/	/

3、建立模型

（1）決策變量

　　x1：廢料 1 用量（千克）
　　x2：廢料 2 用量（千克）
　　x3：廢料 3 用量（千克）
　　x4：廢料 4 用量（千克）
　　x5：原料鎳 用量（千克）
　　x6：原料鉻 用量（千克）
　　x7：原料鉬 用量（千克）

（2）目標函數：

　　min cost = 16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7

（3）約束條件：

　　0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 >= 0.65*1000
　　0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 <= 0.75*1000
　　18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000
　　18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000
　　12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000
　　12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.2*1000
　　0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000
　　0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.3*1000

（4）變量取值范圍：

　　xi >= 0, i=1,2,...7
　　x1 <= 75, x2 <= 250

4、PuLP 程序 1：使用 LpVariable 逐一定義變量

　　本程序與上篇的方法相同，使用 LpVariable 逐一定義變量。完整的程序代碼如下：

    import pulp      # 導入 pulp庫

    # 1.建立優化問題 AlloyLP: 求最小值(LpMinimize)
    AlloyLP = pulp.LpProblem("合金生產材料優化", sense=pulp.LpMinimize)    # 定義問題，求最小值
    # 2.定義決策變量 x1~x7
    x1 = pulp.LpVariable('廢料1#', lowBound=0, upBound=75.0, cat='Continuous')  # 定義 x1
    x2 = pulp.LpVariable('廢料2#', lowBound=0, upBound=250., cat='Continuous')  # 定義 x2
    x3 = pulp.LpVariable('廢料3#', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定義 x3
    x4 = pulp.LpVariable('廢料4#', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定義 x4
    x5 = pulp.LpVariable('原料鎳', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定義 x5
    x6 = pulp.LpVariable('原料鉻', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定義 x6
    x7 = pulp.LpVariable('原料鉬', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定義 x7
    # 3.定義目標函數 cost
    AlloyLP += (16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7)  # 投料成本
    # 4.設置約束條件
    AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000)  # 等式約束
    AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 >= 0.65*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 <= 0.75*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 <= 1.2*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 <= 1.3*1000)  # 不等式約束
    AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000)  # 等式約束
    # 5.求解線性規划問題
    AlloyLP.solve()
    # 6.輸出優化結果
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    print(AlloyLP)  # 輸出問題設定參數和條件
    # print("求解狀態:", pulp.LpStatus[AlloyLP.status])  # 輸出求解狀態
    for v in AlloyLP.variables():
        print(v.name, " = ", v.varValue)  # 輸出每個變量的最優值
    print("最小材料成本 = ", pulp.value(AlloyLP.objective))  # 輸出最優解的目標函數值

5、PuLP 程序 2：使用 dict 定義決策變量和約束條件

　　本程序使用 dict 定義變量、目標函數和約束條件參數，便於復雜問題的參數設定。

    import pulp      # 導入 pulp庫

    # 1. 建立問題
    AlloyModel = pulp.LpProblem("鋼材生產問題", pulp.LpMinimize)
    # 2. 建立變量
    material = ['廢料1', '廢料2', '廢料3', '廢料4', '鎳', '鉻', '鉬']
    mass = pulp.LpVariable.dicts("原料", material, lowBound=0, cat='Continuous')
    # 3. 設置目標函數
    cost = {
        '廢料1': 16,
        '廢料2': 10,
        '廢料3': 8,
        '廢料4': 9,
        '鎳': 48,
        '鉻': 60,
        '鉬': 53}
    AlloyModel += pulp.lpSum([cost[item] * mass[item] for item in material]), "總生產成本"
    # # 4. 施加約束
    carbonPercent = {
        '廢料1': 0.8,
        '廢料2': 0.7,
        '廢料3': 0.85,
        '廢料4': 0.4,
        '鎳': 0,
        '鉻': 0,
        '鉬': 0}
    NiPercent = {
        '廢料1': 18,
        '廢料2': 3.2,
        '廢料3': 0,
        '廢料4': 0,
        '鎳': 100,
        '鉻': 0,
        '鉬': 0}
    CrPercent = {
        '廢料1': 12,
        '廢料2': 1.1,
        '廢料3': 0,
        '廢料4': 0,
        '鎳': 0,
        '鉻': 100,
        '鉬': 0}
    MoPercent = {
        '廢料1': 0,
        '廢料2': 0.1,
        '廢料3': 0,
        '廢料4': 0,
        '鎳': 0,
        '鉻': 0,
        '鉬': 100}
    AlloyModel += pulp.lpSum([mass[item] for item in material]) == 1000, "質量約束"
    AlloyModel += pulp.lpSum([carbonPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 0.65*1000, "碳最小占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([carbonPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 0.75*1000, "碳最大占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([NiPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 3.0*1000, "鎳最小占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([NiPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 3.5*1000, "鎳最大占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([CrPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 1.0*1000, "鉻最小占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([CrPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 1.2*1000, "鉻最大占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([MoPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 1.1*1000, "鉬最小占比"
    AlloyModel += pulp.lpSum([MoPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 1.3*1000, "鉬最大占比"
    AlloyModel += mass['廢料1'] <= 75, "廢料1可用量"
    AlloyModel += mass['廢料2'] <= 250, "廢料2可用量"
    # 5. 求解
    AlloyModel.solve()
    # 6. 打印結果
    print(AlloyModel)  # 輸出問題設定參數和條件
    print("優化狀態:", pulp.LpStatus[AlloyModel.status])
    for v in AlloyModel.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)
    print("最優總成本 = ", pulp.value(AlloyModel.objective))

3、Python程序和運行結果

　　程序 1 和程序 2 的運行結果完全相同，結果如下：

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

鋼材生產問題:
MINIMIZE
16*原料_廢料1 + 10*原料_廢料2 + 8*原料_廢料3 + 9*原料_廢料4 + 53*原料_鉬 + 60*原料_鉻 + 48*原料_鎳 + 0
SUBJECT TO
質量約束: 原料_廢料1 + 原料_廢料2 + 原料_廢料3 + 原料_廢料4 + 原料_鉬 + 原料_鉻 + 原料_鎳 = 1000
碳最小占比: 0.8 原料_廢料1 + 0.7 原料_廢料2 + 0.85 原料_廢料3 + 0.4 原料_廢料4 >= 650
碳最大占比: 0.8 原料_廢料1 + 0.7 原料_廢料2 + 0.85 原料_廢料3 + 0.4 原料_廢料4 <= 750
鎳最小占比: 18 原料_廢料1 + 3.2 原料_廢料2 + 100 原料_鎳 >= 3000
鎳最大占比: 18 原料_廢料1 + 3.2 原料_廢料2 + 100 原料_鎳 <= 3500
鉻最小占比: 12 原料_廢料1 + 1.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉻 >= 1000
鉻最大占比: 12 原料_廢料1 + 1.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉻 <= 1200
鉬最小占比: 0.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉬 >= 1100
鉬最大占比: 0.1 原料_廢料2 + 100 原料_鉬 <= 1300
廢料1可用量: 原料_廢料1 <= 75
廢料2可用量: 原料_廢料2 <= 250
VARIABLES
原料_廢料1 Continuous
原料_廢料2 Continuous
原料_廢料3 Continuous
原料_廢料4 Continuous
原料_鉬 Continuous
原料_鉻 Continuous
原料_鎳 Continuous

優化狀態: Optimal
原料_廢料1 = 75.0
原料_廢料2 = 90.909091
原料_廢料3 = 672.28283
原料_廢料4 = 137.30808
原料_鉬 = 10.909091
原料_鉻 = 0.0
原料_鎳 = 13.590909
最優總成本 =  9953.671725000002

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