進制的概念以及進制轉換

本文轉載自查看原文 2021-04-27 13:04 1706

什么是進制

進制也就是進位制，是利用固定的數字符號和統一的規則來計數的方法，是人們規定的一種進位方法。對於任何一種進制---X進制，就表示某一位置上的數運算時是逢X進一位。十進制是逢十進一，十六進制是逢十六進一，二進制就是逢二進一，以此類推，x進制就是逢x進位。

我們平時使用的數字都是由 0~9 共十個數字組成的，例如 1、9、10、297、952 等，一個數字最多能表示九，如果要表示十、十一、二十九、一百等，就需要多個數字組合起來。

例如表示 5+8 的結果，一個數字不夠，只能”進位“，用 13 來表示；這時”進一位“相當於十，”進兩位“相當於二十。

因為逢十進一（滿十進一），也因為只有 0~9 共十個數字，所以叫做十進制（Decimalism）。十進制是在人類社會發展過程中自然形成的，它符合人們的思維習慣，例如人類有十根手指，也有十根腳趾。

進制也就是進位制。進行加法運算時逢X進一（滿X進一），進行減法運算時借一當X，這就是X進制，這種進制也就包含X個數字，基數為X。十進制有 0~9 共10個數字，基數為10，在加減法運算中，逢十進一，借一當十。

二進制

我們不妨將思維拓展一下，既然可以用 0~9 共十個數字來表示數值，那么也可以用0、1兩個數字來表示數值，這就是二進制（Binary）。例如，數字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二進制。

在計算機內部，數據都是以二進制的形式存儲的，二進制是學習編程必須掌握的基礎。本節我們先講解二進制的概念，下節講解數據在內存中的存儲，讓大家學以致用。

二進制加減法和十進制加減法的思想是類似的：

對於十進制，進行加法運算時逢十進一，進行減法運算時借一當十；
對於二進制，進行加法運算時逢二進一，進行減法運算時借一當二。

下面兩張示意圖詳細演示了二進制加減法的運算過程。

二進制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110

圖1：二進制加法示意圖

二進制減法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101

八進制

除了二進制，C語言還會使用到八進制。

八進制有 0~7 共8個數字，基數為8，加法運算時逢八進一，減法運算時借一當八。例如，數字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八進制。

下面兩張圖詳細演示了八進制加減法的運算過程。

八進制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

八進制減法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757

十六進制

除了二進制和八進制，十六進制也經常使用，甚至比八進制還要頻繁。

十六進制中，用A來表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15，因此有 0~F 共16個數字，基數為16，加法運算時逢16進1，減法運算時借1當16。例如，數字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六進制。

注意，十六進制中的字母不區分大小寫，ABCDEF 也可以寫作 abcdef。

下面兩張圖詳細演示了十六進制加減法的運算過程。

十六進制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11

十六進制減法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

進制轉換

下面是二、八、十、十六進制之間關系的結構圖：

（Figure1：進制關系結構圖）

下文會分4個部分對這個圖進行分解，針對每個部分會以圖文的形式進行講解：

（二、八、十六進制） → （十進制）；
（十進制） → （二、八、十六進制）；
（二進制） ↔ （八、十六進制）；
（八進制） ↔ （十六進制）；

進制轉換算法（Convert）

進制的前綴或后綴

　　在數字前后加上不同的字母來表示不同的進位制。

前綴0b或0B表示二進制，0o或0O或0表示八進制，0x表示16進制，0d或0D或不加任何前綴。

例如：0b101011=0o53=0d43=0x2B

后綴B（Binary)表示二進制，O（Octal）表示八進制，D（Decimal）或不加表示十進制，H（Hexadecimal）表示十六進制。

例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) （二、八、十六進制） → （十進制）

（Figure2：其他進制轉換為十進制）

二進制 → 十進制

　　方法：二進制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方，第2位的權值是2的2次方，依次遞增下去，把最后的結果相加的值就是十進制的值了。

　　例：將二進制的(101011)B轉換為十進制的步驟如下：

第0位 1 x 2^0 = 1；
第1位 1 x 2^1 = 2；
第2位 0 x 2^2 = 0；
第3位 1 x 2^3 = 8；
第4位 0 x 2^4 = 0；
第5位 1 x 2^5 = 32；
讀數，把結果值相加，1+2+0+8+0+32=43，即(101011)B=(43)D。

八進制 → 十進制

　　方法：八進制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是8的0次方，第1位的權值是8的1次方，第2位的權值是8的2次方，依次遞增下去，把最后的結果相加的值就是十進制的值了。

　　八進制就是逢8進1，八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。

　　例：將八進制的(53)O轉換為十進制的步驟如下：

第0位 3 x 8^0 = 3；
第1位 5 x 8^1 = 40；
讀數，把結果值相加，3+40=43，即(53)O=(43)D。

十六進制 → 十進制

　　方法：十六進制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是16的0次方，第1位的權值是16的1次方，第2位的權值是16的2次方，依次遞增下去，把最后的結果相加的值就是十進制的值了。

　　十六進制就是逢16進1，十六進制的16個數為0123456789ABCDEF。

　　例：將十六進制的(2B)H轉換為十進制的步驟如下：

第0位 B x 16^0 = 11；
第1位 2 x 16^1 = 32；
讀數，把結果值相加，11+32=43，即(2B)H=(43)D。

(二) （十進制） → （二、八、十六進制）

（Figure3：十進制轉換為其它進制）

十進制 → 二進制

　　方法：除2取余法，即每次將整數部分除以2，余數為該位權上的數，而商繼續除以2，余數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最后讀數時候，從最后一個余數讀起，一直到最前面的一個余數。

　　例：將十進制的(43)D轉換為二進制的步驟如下：

將商43除以2，商21余數為1；
將商21除以2，商10余數為1；
將商10除以2，商5余數為0；
將商5除以2，商2余數為1；
將商2除以2，商1余數為0；
將商1除以2，商0余數為1；
讀數，因為最后一位是經過多次除以2才得到的，因此它是最高位，讀數字從最后的余數向前讀，101011，即(43)D=(101011)B。

（Figure4：圖解十進制 → 二進制）

十進制 → 八進制

　　方法1：除8取余法，即每次將整數部分除以8，余數為該位權上的數，而商繼續除以8，余數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最后讀數時候，從最后一個余數起，一直到最前面的一個余數。

　　例：將十進制的(796)D轉換為八進制的步驟如下：

將商796除以8，商99余數為4；
將商99除以8，商12余數為3；
將商12除以8，商1余數為4；
將商1除以8，商0余數為1；
讀數，因為最后一位是經過多次除以8才得到的，因此它是最高位，讀數字從最后的余數向前讀，1434，即(796)D=(1434)O。

（Figure5：圖解十進制 → 八進制）

　　方法2：使用間接法，先將十進制轉換成二進制，然后將二進制又轉換成八進制；

（Figure6：圖解十進制 → 八進制）

十進制 → 十六進制

　　方法1：除16取余法，即每次將整數部分除以16，余數為該位權上的數，而商繼續除以16，余數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最后讀數時候，從最后一個余數起，一直到最前面的一個余數。

　　例：將十進制的(796)D轉換為十六進制的步驟如下：

將商796除以16，商49余數為12，對應十六進制的C；
將商49除以16，商3余數為1；
將商3除以16，商0余數為3；
讀數，因為最后一位是經過多次除以16才得到的，因此它是最高位，讀數字從最后的余數向前讀，31C，即(796)D=(31C)H。

（Figure7：圖解十進制 → 十六進制）

　　方法2：使用間接法，先將十進制轉換成二進制，然后將二進制又轉換成十六進制；

（Figure8：圖解十進制 → 十六進制）

(三) （二進制） ↔ （八、十六進制）

（Figure9：二進制轉換為其它進制）

二進制 → 八進制

　　方法：取三合一法，即從二進制的小數點為分界點，向左（向右）每三位取成一位，接着將這三位二進制按權相加，然后，按順序進行排列，小數點的位置不變，得到的數字就是我們所求的八進制數。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位時候，如果無法湊足三位，可以在小數點最左邊（最右邊），即整數的最高位（最低位）添0，湊足三位。

　　例：將二進制的(11010111.0100111)B轉換為八進制的步驟如下：

小數點前111 = 7；
010 = 2；
11補全為011，011 = 3；
小數點后010 = 2；
011 = 3；
1補全為100，100 = 4；
讀數，讀數從高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

（Figure10：圖解二進制 → 八進制）

二進制與八進制編碼對應表：

二進制	八進制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

八進制 → 二進制

　　方法：取一分三法，即將一位八進制數分解成三位二進制數，用三位二進制按權相加去湊這位八進制數，小數點位置照舊。

　　例：將八進制的(327)O轉換為二進制的步驟如下：

3 = 011；
2 = 010；
7 = 111；
讀數，讀數從高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。

（Figure11：圖解八進制 → 二進制）

二進制 → 十六進制

　　方法：取四合一法，即從二進制的小數點為分界點，向左（向右）每四位取成一位，接着將這四位二進制按權相加，然后，按順序進行排列，小數點的位置不變，得到的數字就是我們所求的十六進制數。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位時候，如果無法湊足四位，可以在小數點最左邊（最右邊），即整數的最高位（最低位）添0，湊足四位。

　　例：將二進制的(11010111)B轉換為十六進制的步驟如下：