10進制與2進制的轉換

10進制與2進制轉換還真是個麻煩事，由於生活中，我們都是用10進制的，所以，當我們生活中遇到2進制的數字時，總是需要轉換成10進制來處理，而電腦開發者，還經常要在兩種進制里互換!

以前，將10進制與2進制互換，我總是以2N次方來轉，如下：

18  轉 2進制 n次方方法

18 = 16 + 2

18 = 2⁴ + 0³ + 0² + 2¹ + 0⁰

18 = 10010

此方法的要求：

第一步：加數一定要是2的N次方，

第二步：N次方要從大到小寫下來(見43210)，某一位的N次方沒有在上一步加數里則以0代替（見0³+0²）

第三步：將乘方底數不為0的寫為1，為0的照寫下來就是2進制了！

總結：這種方法遇到大的數就麻煩了，因為要心數2N次方

 

后來，不經意中看到了另外一個轉換的方法！就是除2取余后，反取余數就可！如下：

18  轉 2進制 取余方法

（1） 18 / 2 = 9 …… 0     

（2） 9 / 2 = 4 …… 1

（3） 4 / 2 = 2 …… 0

（4） 2 / 2 = 1 …… 0

（5） 1 / 2 = 0 ……  1

反取余數就是：10010，所以:18=10010

總結：此方法比較好，再大的數，除以2都很容易算！

反推：既然用取余法將10進制轉換2進制那么方便！那么是否可以依據取余法來推算出2進制轉10進制?

依上面的運算來反推算：

（1） 18 / 2 = 9 … 0  》》》 9 X 2 + 0 = 18

（2） 9 / 2 = 4 …… 1  》》》 4 X 2 + 1 = 9

（3） 4 / 2 = 2 …… 0  》》》 2 X 2 + 0 = 4

（4） 2 / 2 = 1 …… 0  》》》 1 X 2 + 0 = 2

（5） 1 / 2 = 0 ……  1 》》》 0 X 2 + 1 = 1

運算順序如下：

（1）0 X 2 + 1 = 1

（2）1 X 2 + 0 = 2

（3）2 X 2 + 0 = 4

（4）4 X 2 + 1 = 9

（5）9 X 2 + 0 = 18

以上運算的特點：

第二個加數，剛好按二進制的高位至低位依次排下來

（1）0 X 2 + 1 = 1（加數1是二進制的最高位）

（2）1 X 2 + 0 = 2（加數0是二進制的第2位)

（3）2 X 2 + 0 = 4（加數0是二進制的第3位)

（4）4 X 2 + 1 = 9（加數1是二進制的第4位)

（5）9 X 2 + 0 = 18（加數0是二進制的第5位)

從第二步運算開始，第一個加數，是一個乘積，而此乘法的第一個乘數剛好是上一步的和，第二個乘數則是進制：

由於第一步（1）0 X 2 + 1 = 1，第一個乘數只能是0，所以，第一步的和與加數一定是相同的！也即是說第二步的第一個乘數就是二進制的最高位！

所以，2進制轉換10進制的運算過程應為：（最高位X2+第2位的和）X2+第3位，重復運算至最后一位即可！如下：

2進制的101轉為10進制的運算過程

1X2+0=2 （第一個乘數1是二進制的最高位，第2個加數0是二進制的第2位）

2X2+1=5 （第2個加數1是二進制的第3位，也就是最后一位，至此運算結束）

101 = 5

 

2進制的11001轉為10進制的運算過程

1X2+1=3

3X2+0=6

6X2+0=12

12X2+1=25

11001=25

 

拓展：取余方法也可以應用於10以內的進制轉換，只要將進制做為除數就可以！

18  轉 4進制

18 / 4= 4 …… 2

4 / 4 = 1 …… 0

1 / 4 = 0 …… 1

反取余數就是：102，所以:18 = 102