進制轉換

二進制轉換十進制

二進制數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……

所以，設有一個二進制數：101100100，轉換為10進制為：356

用橫式計算

0×2 0+0×21+1×22+0×23+0×24+1×25+1×26+0×27+1×28=356

0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：

1×2 2+1×25+1×26+1×28=356

4+32+64+256 =356

八進制轉換十進制

八進制就是逢8進1。

八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。

八進制數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……

所以，設有一個八進制數：1507，轉換為十進制為：839，具體方法如下：

可以用橫式直接計算：

7×8 0+0×81+5×82+1×83=839

也可以用豎式表示

第0位 7×8 0=7

第1位 0×8 1=0

第2位 5×8 2=320

第3位 1×8 3=512

十六進制轉換十進制

16進制就是逢16進1，但我們只有0~9這十個數字，所以我們用A，B，C，D，E，F這六個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。

十六進制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……

所以，在第N（N從0開始）位上，如果是數β （β大於等於0，並且β小於等於 15，即：F）表示的大小為 β×16的N次方。

假設有一個十六進數 2AF5

直接計算就是：

5×16 0+F×161+A×162+2×163=10997[1] 

也可以用豎式表示：

第0位： 5×16 0=5

第1位： F×16^1=240

第2位： A×16 2=2560

第3位： 2×16 3=8192

-------------------------------

10997

此處可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在於各自的權值不同。

假設有人問你，十進數1234 為什么是一千二百三十四？你盡可以給他這么一個算式：

1234 = 1×10 3+2×102+3×101+4×100

十六進制互相轉換

首先我們來看一個二進制數：1111，它是多少呢？

你可能還要這樣計算：1×2 0+1×21+1×22+1×23=1×1+1×2+1×4+1×8=15。

然而，由於1111才4位，所以我們必須直接記住它每一位的權值，並且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的 權值為2 3=8，然后依次是 22=4，21=2，20=1。

記住8421，對於任意一個4位的二進制數，我們都可以很快算出它對應的10進制值。

下面列出四位二進制數 xxxx 所有可能的值（中間略過部分）

僅4位的2進制數 快速計算方法 十進制值 十六進制

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 =F

1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14= E

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13= D

1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 =C

1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11= B

1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 =A

1001 = 8 + 0 + 0 + 1 =9 =9

……

0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1= 1

0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0= 0

二進制數要轉換為十六進制，就是以4位一段，分別轉換為十六進制。

如（上行為二制數，下面為對應的十六進制）：

1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

F D ， A 5 ， 9 B

反過來，當我們看到 FD時，如何迅速將它轉換為二進制數呢？

先轉換F：

看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這五個數），然后15如何用8421湊呢？應該是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全為1 ：1111。

接着轉換D

看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8 + 4 + 1，即：1101。

所以，FD轉換為二進制數，為：1111 1101

由於 十六進制轉換成二進制相當直接，所以，我們需要將一個十進制數轉換成2進制數時，也可以先轉換成16進制，然后再轉換成2進制。

比如，十進制數 1234轉換成二制數，如果要一直除以2，直接得到2進制數，需要計算較多次數。所以我們可以先除以16，得到16進制數：

被除數 計算過程 商 余數

1234 1234/16 77 2

77 77/16 4 13 (D)

4 4/16 0 4

結果16進制為：4D2

然后我們可直接寫出4D2的二進制形式：

0100

1101

0010

其中對映關系為：

0100 -- 4

1101 -- D

0010 -- 2

同樣，如果一個二進制數很長，我們需要將它轉換成10進制數時，除了前面學過的方法是，我們還可以先將這個 二進制轉換成16進制，然后再轉換為10進制。

下面舉例一個int類型的二進制數：

01101101

11100101

10101111

00011011

我們按四位一組轉換為16進制：6D E5 AF 1B

十進制轉十六進制

采余數定理分解，例如將487710轉成十六進制：

487710÷16=30481....14(E)

30481÷16=1905....1

1905÷16=119....1

119÷16=7....7

7÷16=0....7

這樣就計到487710（10）=7711E（16）

表達方法

程序的表達方法環境 格式備注URL%hex無 XML,XHTML&#xhex無HTML,CSS#hex6位，表示顏色UnicodeU+hex6位,表示字符編碼MIME=hex無Modula-2#hex無Smalltalk,ALGOL 6816rhex無Common Lisp#xhex或#16rhex無IPv68個hex用:分隔無

C C++的表達方法

如果不使用特殊的書寫形式，16進制數也會和10進制相混。隨便一個數：9876，就看不出它是16進制或10進制。

C，C++規定，16進制數必須以 0x開頭。比如 0x1表示一個16進制數。而1則表示一個 十進制。另外如：0xff,0xFF,0X102A，等等。其中的x也不區分大小寫。（注意：0x中的0是數字0，而不是字母O)

以下是一些用法示例：

int a = 0x100F;

int b = 0x70 + a;

至此，我們學完了所有進制：10進制，8進制，16進制數的表達方式。最后一點很重要，C/C++中，10進制數有正負之分，比如12表示正12，而-12表示負12，；但8進制和16進制只能表達無符號的正整數，如果你在代碼中寫：-078，或者寫：-0xF2,C,C++並不把它當成一個 負數。

在轉義符中的使用

轉義符也可以接一個16進制數來表示一個字符。如 \'?\' 字符，可以有以下表達方式：

\'?\' //直接輸入字符

\'\77\' //用八進制，此時可以省略開頭的0

\'\0x3F\' //用十六進制

同樣，這一小節只用於了解。除了空字符用 八進制數 \'\0\' 表示以外，我們很少用后兩種方法表示一個字符。

各碼轉換

結束了各種進制的轉換，我們來談談另一個話題：原碼、反碼、補碼。

我們已經知道計算機中，所有數據最終都是使用二進制數表達。

我們也已經學會如何將一個10進制數如何轉換為二進制數。

不過，我們仍然沒有學習一個負數如何用二進制表達。

比如，假設有一 int 類型的數，值為5，那么，我們知道它在計算機中表示為：5

00000000

00000000

00000000

00000101

轉換成二制是101，不過int類型的數占用4字節（32位），所以前面填了一堆0。

想知道，-5在計算機中如何表示嗎？

在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

原碼：一個整數，按照絕對值大小轉換成的二進制數，稱為原碼。

比如

00000000

00000000

00000000

00000101

是 5的 原碼。

反碼：將二進制數按位取反，所得的新二進制數稱為原二進制數的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：

00000000

00000000

00000000

00000101

每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱：11111111 11111111 11111111 11111010 是

00000000

00000000

00000000

00000101

的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱：

11111111

11111111

11111111

11111010

和

00000000

00000000

00000000

00000101

互為反碼。

補碼：反碼加1稱為補碼。

也就是說，要得到一個數的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數稱為補碼。

比如：

00000000

00000000

00000000

00000101

的反碼是：

11111111

11111111

11111111

11111010

那么，補碼為：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

所以，-5 在計算機中表達為：11111111 11111111 11111111 11111011。轉換為十六進制：0xFFFFFFFB。

再舉一例，我們來看整數-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個int類型，那么：

1、先取1的原碼：

00000000

00000000

00000000

00000001

2、得反碼：

11111111

11111111

11111111

11111110

3、得補碼：

11111111

11111111

11111111

11111111

可見，－1在計算機里用二進制表達就是全1。16進制為：0xFFFFFFFF。

一切都是紙上說的……說－1在計算機里表達為0xFFFFFFFF，我能不能親眼看一看呢？當然可以。利用C++ Builder的調試功能，我們可以看到每個變量的16進制值。

變量

下面我們來動手完成一個小小的實驗，通過調試，觀察變量的值。

我們在代碼中聲明兩個int 變量，並分別初始化為5和-5。然后我們通過CB提供的調試手段，可以查看到程序運行時，這兩個變量的十進制值和十六進制值。

首先寫一個如下的C語言控制台程序：

1 2 3 4 5

intmain( void ) { intaaaa=5,bbbbb=-5; return0; }

設置斷點：最常用的調試方法之一，使程序在運行時，暫停在某一代碼位置，

在Code::Blocks中，設置斷點的方法是在某一行代碼上按F5或在行首欄內單擊鼠標。

我們在return 0;這一行上設置斷點。斷點所在行將被Code::Blocks以紅色顯示。

接着，運行程序（F9），程序將在斷點處停下來。

（請注意兩張圖的不同，前面的圖是運行之前，后面這張是運行中，左邊的箭頭表示運行運行到哪一行）

當程序停在斷點的時，我們可以觀察當前代碼片段內，可見的變量。觀察變量的方法很多種，這里我們學習使用 Debug Inspector （調試期檢視），來全面觀察一個變量。

以下是調出觀察某一變量的　Debug Inspector　窗口的方法：

先確保代碼窗口是活動窗口。（用鼠標點一下代碼窗口）

按下Ctrl鍵，然后將鼠標挪到變量 aaaa 上面，你會發現代碼中的aaaa變藍，並且出現下划線，效果如網頁中的超鏈接，而鼠標也變成了小手狀：

點擊鼠標，將出現變量aaaa的檢視窗口。

從該窗口，我可以看到：

aaaa ：變量名

int ：變量的數據類型

0012FF88：變量的 內存地址，請參看5.2 變量與內存地址；地址總是使用十六進制表達

5 ：這是變量的值，即aaaa = 5;

0x00000005 ：同樣是變量的值，但采用16進制表示。因為是int類型，所以占用4字節。

首先先關閉前面的用於觀察變量aaaa的Debug Inspector窗口。

然后，我們用同樣的方法來觀察變量bbbb，它的值為-5，負數在計算機中使用補碼表示。

正如我們所想，-5的補碼為：0xFFFFFFFB。

再按一次F9，程序將從斷點繼續運行，然后結束。

總結

很難學的一章？

來看看我們主要學了什么：

1、我們學會了如何將二、八、十六進制數轉換為十進制數。

三種轉換方法是一樣的，都是使用乘法。

2、我們學會了如何將十進制數轉換為二、八、十六進制數。

方法也都一樣，采用除法。

3、我們學會了如何快速的地互換二進制數和十六進制數。

要訣就在於對二進制數按四位一組地轉換成十六進制數。

在學習十六進制數后，我們會在很多地方采用十六進制數來替代二進制數。

4、我們學習了原碼、反碼、補碼。

把原碼的0變1，1變0，就得到反碼。要得到 補碼，則先得 反碼，然后加1。

以前我們只知道正整數在計算機里是如何表達，這時我們還知道負數在計算機里使用其絕對值的補碼表達。

比如，－5在計算機中如何表達？回答是：5的補碼。

5、最后我們在上機實驗中，這會了如何設置斷點，如何調出Debug Inspector窗口觀察變量。

以后我們會學到更多的調試方法。

標准表示

在數制使用時，常將各種數制用簡碼來表示：如十進制數用D表示或省略；二進制用B來表示；十六進制數用H來表示。

如：十制數123表示為：123D或者123；二進制數1011表示為：1011B；十六進制數3A4表示為：3A4H。

另外在編程中十六進制數也用“0x”作為開頭。

意義

1. 用於計算機領域的一種重要的數制。
2. 對計算機理論的描述，計算機硬件電路的設計都是很有益的。比如邏輯電路設計中，既要考慮功能的完備，還要考慮用盡可能少的硬件，十六進制就能起到一些理論分析的作用。比如四位 二進制電路，最多就是十六種狀態，也就是一種十六進制形式，只有這十六種狀態都被用上了或者盡可能多的被用上，硬件資源才發揮了盡可能大的作用。
3. 十六進制更簡短，因為換算的時候一位16進制數可以頂4位2進制數。
4. 你可以在二進制前加幾個0，意義不變。

二進制	八進制	十進制	十六進制
0 1	0 1	0 1	0 1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F
10000	20	16	10
10001	21	17	11
10010	22	18	12
10011	23	19	13
10100	24	20	14
10101	25	21	15
10110	26	22	16
10111	27	23	17
11000	30	24	18
11001	31	25	19
11010	32	26	1A
11011	33	27	1B
11100	34	28	1C
11101	35	29	1D
11110	36	30	1E
11111	37	31	1F
100000	40	32	20
100001	41	33	21
100010	42	34	22
100011	43	35	23
100100	44	36	24
100101	45	37	25
100110	46	38	26
100111	47	39	27
101000	50	40	28
101001	51	41	29
101010	52	42	2A
101011	53	43	2B
101100	54	44	2C
101101	55	45	2D
101110	56	46	2E
101111	57	47	2F
110000	60	48	30
110001	61	49	31
110010	62	50	32
110011	63	51	33
110100	64	52	34
110101	65	53	35
110110	66	54	36
110111	67	55	37
111000	70	56	38
111001	71	57	39
111010	72	58	3A
111011	73	59	3B
111100	74	60	3C
111101	75	61	3D
111110	76	62	3E
111111	77	63	3F
1000000	100	64	40
1000001	101	65	41
1000010	102	66	42
1000011	103	67	43
1000100	104	68	44
1000101	105	69	45
1000110	106	70	46
1000111	107	71	47
1001000	110	72	48
1001001	111	73	49
1001010	112	74	4A
1001011	113	75	4B
1001100	114	76	4C
1001101	115	77	4D
1001110	116	78	4E
1001111	117	79	4F
1010000	120	80	50
1010001	121	81	51
1010010	122	82	52
1010011	123	83	53
1010100	124	84	54
1010101	125	85	55
1010110	126	86	56
1010111	127	87	57
1011000	130	88	58
1011001	131	89	59
1011010	132	90	5A
1011011	133	91	5B
1011100	134	92	5C
1011101	135	93	5D
1011110	136	94	5E
1011111	137	95	5F
1100000	140	96	60
1100001	141	97	61
1100010	142	98	62
1100011	143	99	63
1100100	144	100	64

進位制的記數系統

基本進位制

▪ 二進制	▪ 三進制	▪ 四進制	▪ 五進制
▪ 六進制	▪ 七進制	▪ 八進制	▪ 九進制
▪ 十進制	▪ 十一進制	▪ 十二進制	▪ 十三進制
▪ 十四進制	▪ 十五進制	▪ 十六進制	▪ 十八進制
▪ 二十進制	▪ 二十四進制	▪ 二十六進制	▪ 二十七進制
▪ 三十進制	▪ 三十二進制	▪ 三十六進制	▪ 六十進制
▪ 六十四進制

平衡進位制

▪ 平衡三進制	▪ 平衡五進制	▪ 平衡九進制

特殊進位制

▪ Base64	▪ 十進位制	▪ 二進指數法	▪ 黃金進制
▪ 斐波那契編碼	▪ e進制

相關條目

▪ 位	▪ 位元	▪ 進位制	▪ 米迪定理
▪ 記數系統