進制轉換

1.  進制轉換

1.1 十進制化為二進制

整數部分，把十進制轉成二進制一直分解至商數為0。讀余數從下讀到上，即是二進制的整數部分數字。 小數部分，則用其乘2，取其整數部分的結果，再用計算后的小數部分依此重復計算，算到小數部分全為0為止，之后讀所有計算后整數部分的數字，從上讀到下。

將59.25₍₁₀₎ 轉成二進制：

• 整數部分：

59 ÷ 2 = 29 ... 1
29 ÷ 2 = 14 ... 1
14 ÷ 2 =  7 ... 0
 7 ÷ 2 =  3 ... 1
 3 ÷ 2 =  1 ... 1
 1 ÷ 2 =  0 ... 1

• 小數部分:

0.25 × 2 = 0.5
0.50 × 2 = 1.0

所以59.25 ₍₁₀₎  = 111011.01 ₍₂₎ 

十進制轉換為其他進制，一句話方法：整數部分——除基取余，倒序拼接余數；對於小數部分——乘基取整，正序拼接整數。

1.2 二進制化為十進制

將100101₂轉換為十進制形式如下：

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2 ] + [ ( 1 ) × 1 ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

十進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
二進制	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
十進制	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
二進制	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011	10100	10101
十進制	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
二進制	10110	10111	11000	11001	11010	11011	11100	11101	11110	11111	100000
十進制	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43
二進制	100001	100010	100011	100100	100101	100110	100111	101000	101001	101010	101011

1.3 二進制化為八進制

把二進制化為八進制也很容易，因為八進制以8為基數，8是2的冪（8=2³），因此八進制的一位恰好需要三個二進制位來表示。八進制與二進制數之間的對應就是上面表格中十六進制的前八個數。二進制數000就是八進制數0，二進制數111就是八進制數7，以此類推。

八進制	二進制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

八進制轉為二進制：

• 65₈ = 110 101₂
• 17₈ = 001 111₂

二進制轉八進制：

• 101100₂ = 101 100₂ （三位一組） = 54₈
• 10011₂ = 010 011₂ （三位一組） = 23₈

1.4 八進制化為十進制

遵循二進制化為十進制的方法即可。所不同的是每一位乘上一個底數為8的冪。

• 65₈ = (6 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53₁₀
• 127₈ = (1 × 8²) + (2 × 8¹) + (7 × 8⁰) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87₁₀

1.5 二進制、八進制、十六進制互相轉換

十進制	二進制	八進制	十六進制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

1.6 二進制與十六進制互相轉換

對於整數，將二進制按4位1組從右往左划分，對於小數，將二進制按4位1組從左往右划分，每4位二進制對應十六進制1位，反之亦然，每1位十六進制對應4位二進制。

二進制	1	1	1	1
對應的值	8	4	2	1

也就是說，如有二進制數：10111000，計算過程如下：

將其分為兩組：1011 1000，然后按位轉化：

1011 => 8 + 2 + 1 = 11 = B

1000 => 8 = 8

所以十六進制結果是：(B8)~16~。

如果二進制位數不足4位，前補0計算，對於小數而言，方向相反。

如二進制：110111100.011001，加粗部分為所需補的0，計算過程如下：

整數部分：

將其分為三組：1 1011 1100，然后按位轉化

0001 => 1 = 1

1011 => 8+2+1 = 11 = B

1100 => 8+4 = 12 = C

小數部分：

將其分為兩組（注意方向的不同）：0110 01

0110 => 4+2 = 6

0100 => 4

所以十六進制結果是：(1BC.64)~16~。

2.  位運算

2.1 取反（NOT）

取反是一元運算符，對一個二進制數的每一位執行邏輯反操作。使數字1成為0，0成為1。例如：

NOT 0111（十進制7）
 
  = 1000（十進制8）

　　

許多程序設計語言取反操作符用波浪線"~"表示

2.2 按位或（OR）

按位或處理兩個長度相同的二進制數，兩個相應的二進位中只要有一個為1，該位的結果值為1。例如

   0101（十進制5）
OR 0011（十進制3）
 = 0111（十進制7）　

在C類程序設計語言中，按位或操作符是"|"。

2.3 按位異或（XOR）

按位異或運算，對等長二進制模式或二進制數的每一位執行邏輯異或操作。操作的結果是如果某位不同則該位為1，否則該位為0。例如

    0101 XOR 0011
  = 0110

在類C語言中，按位異或運算符是"^"。

2.4 按位與（AND）

按位與處理兩個長度相同的二進制數，兩個相應的二進位都為1，該位的結果值才為1，否則為0。例如：

    0101 AND 0011
  = 0001

在類C語言中，按位與用'&'表示

2.5 移位

移位是一個二元運算符，用來將一個二進制數中的每一位全部都向一個方向移動指定位，溢出的部分將被舍棄，而空缺的部分填入一定的值。在類C語言中，左移使用兩個小於符號"<<"表示，右移使用兩個大於符號">>"表示。

應用邏輯移位時，移位后空缺的部分全部填0。

   0001（十進制1） << 3（左移3位） = 1000（十進制8）

   1010（十進制10） >>    2（右移2位） = 0010（十進制2）