进制转换

1.  进制转换

1.1 十进制化为二进制

整数部分，把十进制转成二进制一直分解至商数为0。读余数从下读到上，即是二进制的整数部分数字。 小数部分，则用其乘2，取其整数部分的结果，再用计算后的小数部分依此重复计算，算到小数部分全为0为止，之后读所有计算后整数部分的数字，从上读到下。

将59.25₍₁₀₎ 转成二进制：

• 整数部分：

59 ÷ 2 = 29 ... 1
29 ÷ 2 = 14 ... 1
14 ÷ 2 =  7 ... 0
 7 ÷ 2 =  3 ... 1
 3 ÷ 2 =  1 ... 1
 1 ÷ 2 =  0 ... 1

• 小数部分:

0.25 × 2 = 0.5
0.50 × 2 = 1.0

所以59.25 ₍₁₀₎  = 111011.01 ₍₂₎ 

十进制转换为其他进制，一句话方法：整数部分——除基取余，倒序拼接余数；对于小数部分——乘基取整，正序拼接整数。

1.2 二进制化为十进制

将100101₂转换为十进制形式如下：

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2 ] + [ ( 1 ) × 1 ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
二进制	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
十进制	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
二进制	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011	10100	10101
十进制	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
二进制	10110	10111	11000	11001	11010	11011	11100	11101	11110	11111	100000
十进制	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43
二进制	100001	100010	100011	100100	100101	100110	100111	101000	101001	101010	101011

1.3 二进制化为八进制

把二进制化为八进制也很容易，因为八进制以8为基数，8是2的幂（8=2³），因此八进制的一位恰好需要三个二进制位来表示。八进制与二进制数之间的对应就是上面表格中十六进制的前八个数。二进制数000就是八进制数0，二进制数111就是八进制数7，以此类推。

八进制	二进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

八进制转为二进制：

• 65₈ = 110 101₂
• 17₈ = 001 111₂

二进制转八进制：

• 101100₂ = 101 100₂ （三位一组） = 54₈
• 10011₂ = 010 011₂ （三位一组） = 23₈

1.4 八进制化为十进制

遵循二进制化为十进制的方法即可。所不同的是每一位乘上一个底数为8的幂。

• 65₈ = (6 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53₁₀
• 127₈ = (1 × 8²) + (2 × 8¹) + (7 × 8⁰) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87₁₀

1.5 二进制、八进制、十六进制互相转换

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

1.6 二进制与十六进制互相转换

对于整数，将二进制按4位1组从右往左划分，对于小数，将二进制按4位1组从左往右划分，每4位二进制对应十六进制1位，反之亦然，每1位十六进制对应4位二进制。

二进制	1	1	1	1
对应的值	8	4	2	1

也就是说，如有二进制数：10111000，计算过程如下：

将其分为两组：1011 1000，然后按位转化：

1011 => 8 + 2 + 1 = 11 = B

1000 => 8 = 8

所以十六进制结果是：(B8)~16~。

如果二进制位数不足4位，前补0计算，对于小数而言，方向相反。

如二进制：110111100.011001，加粗部分为所需补的0，计算过程如下：

整数部分：

将其分为三组：1 1011 1100，然后按位转化

0001 => 1 = 1

1011 => 8+2+1 = 11 = B

1100 => 8+4 = 12 = C

小数部分：

将其分为两组（注意方向的不同）：0110 01

0110 => 4+2 = 6

0100 => 4

所以十六进制结果是：(1BC.64)~16~。

2.  位运算

2.1 取反（NOT）

取反是一元运算符，对一个二进制数的每一位执行逻辑反操作。使数字1成为0，0成为1。例如：

NOT 0111（十进制7）
 
  = 1000（十进制8）

　　

许多程序设计语言取反操作符用波浪线"~"表示

2.2 按位或（OR）

按位或处理两个长度相同的二进制数，两个相应的二进位中只要有一个为1，该位的结果值为1。例如

   0101（十进制5）
OR 0011（十进制3）
 = 0111（十进制7）　

在C类程序设计语言中，按位或操作符是"|"。

2.3 按位异或（XOR）

按位异或运算，对等长二进制模式或二进制数的每一位执行逻辑异或操作。操作的结果是如果某位不同则该位为1，否则该位为0。例如

    0101 XOR 0011
  = 0110

在类C语言中，按位异或运算符是"^"。

2.4 按位与（AND）

按位与处理两个长度相同的二进制数，两个相应的二进位都为1，该位的结果值才为1，否则为0。例如：

    0101 AND 0011
  = 0001

在类C语言中，按位与用'&'表示

2.5 移位

移位是一个二元运算符，用来将一个二进制数中的每一位全部都向一个方向移动指定位，溢出的部分将被舍弃，而空缺的部分填入一定的值。在类C语言中，左移使用两个小于符号"<<"表示，右移使用两个大于符号">>"表示。

应用逻辑移位时，移位后空缺的部分全部填0。

   0001（十进制1） << 3（左移3位） = 1000（十进制8）

   1010（十进制10） >>    2（右移2位） = 0010（十进制2）