塞瓦定理
如圖 $\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1$ 當且僅當 $AD,CF,EB$ 三線共點
證明略(面積法)
梅涅勞斯定理
(開局一個三角形,一條直線,裝備全靠撿)
梅涅勞斯定理因直線與三角形的位置關系不同而變化
如圖一 $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$ 當且僅當 $D,E,F$ 三點共線
如圖二 $\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BF}{FC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ 當且僅當 $D,E,F$ 三點共線
證明略(與塞瓦類似)
這6條邊在式中的順序難記,怎么辦?
從三角形的一個頂點出發,按順序遍歷 $[$ 頂點為三角形的頂點,交點為當前遍歷到的三角形的邊(的延長線)與直線的交點 $]$ :
頂點 $\rightarrow$ 交點 $\rightarrow$ 頂點 $\rightarrow$ 交點 $\rightarrow$ 頂點 $\rightarrow$ 交點 $\rightarrow$ 最初的頂點
經過的邊分別記作 $a,b,c,d,e,f$
則公式為 $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=1$
舉個例子:
梅涅勞斯定理例題(蒙日定理):
平面上有三個圓,每一對圓的外公切線交於一點,則三個交點共線
首先提取出兩個圓
易知
$\because \triangle ACO\sim \triangle BDO$
$\therefore \frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}$ (即半徑之比)
轉回原圖:
$\because \frac{AF}{CF}=\frac{a}{c},\frac{BD}{AD}=\frac{b}{a},\frac{CE}{BE}=\frac{c}{b}$
$\therefore \frac{AF}{CF}\cdot \frac{BD}{AD}\cdot \frac{CE}{BE}=1$
$\therefore D,E,F$共線(梅涅勞斯定理)
summary
塞瓦定理多用於證三線共點
梅涅勞斯定理多用於證三點共線