題目描述
小凱手中有兩種面值的金幣，兩種面值均為正整數且彼此互素。每種金幣小凱都有 無數個。在不找零的情況下，僅憑這兩種金幣，有些物品他是無法准確支付的。現在小 凱想知道在無法准確支付的物品中，最貴的價值是多少金幣？注意：輸入數據保證存在 小凱無法准確支付的商品。
輸入輸出格式
輸入格式：
兩個正整數 $a$ 和 $b$ ，它們之間用一個空格隔開，表示小凱中金幣的面值。
輸出格式：
一個正整數 $N$ ，表示不找零的情況下，小凱用手中的金幣不能准確支付的最貴的物品的價值。
題解：
我只想說。。。我考試的時候沒有想到這茬,
$a*b-a-b$
於是17年NOIP水的不成樣子
其實，這道題目是一道數學定理——賽瓦維斯特定理：已知a,b為大於1的正整數，(a,b)=1,則使不定方程$ax+by=C$無負整數解的最大整數$C=ab-a-b$
！
證明：
若存在$x,y>=0$滿足 $ax+by=ab-a-b$ 則$a(x+1)+b(y+1)=ab$
於是$a|(y+1)$,$b|(x+1)$
($a(x+1)=b(a-y-1)$，有 a,b互質，所以$b|(x+1)$。$a|(y+1)$同理）
又$x+1>=1,y+1>=1$
故$a(x+1)+b(y+1)>=a*b+b*a=2ab$ (因為$b|(x+1)$,所以$b<=x+1$,同理$a<=y+1$)
但是在上述假設中我們知道$a(x+1)+b(y+1)=ab$,$a>=0,b>=0$
所以假設不成立，即不存在$x,y>=0$,滿足 $ax+by=ab-a-b$
對於任意正整數$C>=ab-a-b+1$，
即$C+a+b>=ab+1$
設$C+a+b=ka+m(k>=b,1<=m<=a-1)$
注意到(a,b)=1
由裴蜀定理，知存在$x_0,y_0∈Z$，使得
$ax_0+by_0=1$
故存在$x_1,y_1∈Z，-(b-1)<=x_1<=-1$
使得$ax_1+by_1=m$
(解釋一下，這里的意思其實是設$-(b-1)<=x_1<=-1$，一定存在整數$y_1$使得$ax_1+by_1=m$成立。原因就是在整數$x_1$的取值中一共有$b-1$個數，$y_1=(m-ax_1)/b$，總是可以找到$x_1$使得$m-ax_1$能被b整除）
顯然，$y_1>=1(ax_1<0,m>0,b>0$，因此$y_1>=1$)
於是，取$x=k+x_1-1,y=y_1-1$
注意到$x_1,y_1$的取值范圍，得$x,y>=0$
得$ax+by=C$
所以任意$C>=ab-a-b+1$都存在$x,y>=0$,$ax+by=C$
證畢