如圖,設點$P$時拋物線$C_1:y^2=4x$上的動點,過$P$作圓$C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$的兩條切線交拋物線$C_1$於$A,B$兩點,其中$M,N$為切點.若過$A,B$兩點的直線恆與$C_2$ 相切,求$r$的值.
解答:
從必要性入手,當$P(0,0)$時,由幾何關系易知半徑滿足$r^3+7r^2-36=0$
故$r=2,r=-3,r=-6$由題意$r>0$知道$r=2$
下證:$r=2$時,滿足要求.設$P(t^2,2t),A(t_1^2,2t_1),B(t_2^2,2t_2)$,則$PA:2x-(t+t_1)y+2tt_1=0$
圓心$(3,0)$到直線$PA$距離$d=\dfrac{|6+2t_1t|}{\sqrt{4+(t_1+t)^2}}=r=2$整理得$(t^2-1)t_1^2+4tt_1+5-t^2=0$
同理$PB$與圓相切得$(t^2-1)t_2^2+4tt_2+5-t^2=0$
故$t_1+t_2=-\dfrac{4t}{t^2-1},t_1*t_2=\dfrac{5-t^2}{t^2-1}$
此時$AB:2x-(t_1+t_2)y+2t_1t_2=0$
圓心$(3,0)$到直線$AB$的距離$d=\dfrac{|6+2t_1t_2|}{\sqrt{4+(t_1+t_2)^2}}=\dfrac{|6+2*\frac{5-t^2}{t^2-1}|}{\sqrt{4+(-\frac{4t}{t^2-1})^2}}=2=r$
故此時$AB$與圓也相切.
注:如果是填空事實上由彭賽列閉合定理知道只需考察特殊點$P(0,0)$
注:拋物線換成橢圓可以用巧妙的曲線系方程得到其它解法，但拋物線貌似行不通.
注:此題類似的有2011浙江省高考解析幾何大題
練習:
最后農歷生日之際給自己點首歌 《陽光總在風雨后》，但願這輩子生活中所有的不愉快和不幸都已經過去,接下來的日子祝願自己和身邊的人一切順利！